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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.1 - Ex. 84

Funções cúbicas

Considere a seguinte função cúbica:

f x = a x 3 + b x 2 + c x + d

  1. Demonstre que f pode ter 0, 1 ou 2 pontos críticos. Utilize exemplos e gráficos para justificar sua resposta.
  2. Quantos valores locais f pode ter?

Passo 1

Solucionando o item a:

Derivando a equação genérica acima, temos que:

f ' x = 3 a x 2 + 2 b x + c

Por ser uma equação de segundo grau, ela pode ter zero, um ou dois pontos críticos.

Tomando funções como exemplo, usamos:

g x = x 3 + x ² para dois pontos críticos

Derivando e igualando a zero, temos:

g ' x = 3 x 2 + 2 x

3 x 2 + 2 x = 0

x 3 x + 2 = 0

x 1 = 0   e   x 2 = - 2 / 3

h x = x ³ + 4 para um ponto crítico

h ' x = 3 x 2

3 x 2 = 0

x = 0

j x = x 3 + x não tem pontos críticos

j ' x = 3 x 2 + 1

3 x 2 + 1 = 0

x = - 1 3

Passo 2

Solucionando o item b:

Pode ter dois valores extremos (máximo ou mínimo) ou nenhum.

Se tem apenas um valor extremo, se trata de um ponto de inflexão

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Determinar a partir do gráfico se a função possui algum valor extremo absoluto em [ a ,b ] . Em seguida, justifique sua resposta com base no Teorema 1.
Determinar a partir do gráfico se a função possui algum valor extremo absoluto em [ a ,b ] . Em seguida, justifique sua resposta com base no Teorema 1.
Determine os valores extremos absolutos e onde eles ocorrem.
Determinar a partir do gráfico se a função possui algum valor extremo absoluto em [ a ,b ] . Em seguida, justifique sua resposta com base no Teorema 1.
Determinar a partir do gráfico se a função possui algum valor extremo absoluto em [ a ,b ] . Em seguida, justifique sua resposta com base no Teorema 1.