Seja f(x) = x^3 - x - 1 .

  1. Utilize o teorema do valor intermediário para mostrar que f(x) possui um zero entre -1 e 2 .
  2. Resolva a equação f(x) = 0 graficamente com um erro de magnitude de no máximo 10^(-8)
  3. Pode-se mostrar que o valor exato da solução no item (b) é

\left(\frac{1}{2} + \frac{raiz(69)}{18}\right)^{\frac{1}{3}} + \left(\frac{1}{2} - \frac{raiz(69)}{18}\right)^{\frac{1}{3}}

Passo 1

Resolvendo o item (a):

Primeiramente, precisamos estudar a continuidade da função f ( x ) .

Devemos notar que por ser formada por um único polinômio, o seu domínio é o conjunto R e não há restrição alguma para a existência de limites. Logo, concluímos que a função é contínua no intervalo [ - 1 ,   2 ] .

Passo 2

Sabendo que a função é contínua, calculamos agora os valores f - 1 e f 2

f - 1 = - 1 3 - - 1 - 1

f - 1 =   - 1   +   1 - 1   =   - 1

f 2   =   2 3   -   2   –   1

f 2   =   8   -   2   -   1   =   5

Passo 3

Sabendo que f - 1   = - 1   e que f 2   =   5 ,

Podemos afirmar, pelo teorema do valor intermediário, que, como a função é continua em [ - 1 ,   2 ] , existe um c   ∈   [ - 1 ,   2 ] , tal que f ( c )   ∈   [ - 1 ,   5 ] .

Portanto, como - 1   <   0   <   5 , f ( x )   possui um zero entre - 1 e 2 .

Passo 4

Resolvendo o item (b):

f ( x )   =   0

x 3   -   x   –   1   =   0

x 3   =   x   +   1  

Obtendo duas funções: g ( x )   =   x 3 e h ( x )   = x   +   1

Podemos observar o gráfico das duas curvas

Aproximando o gráfico, podemos analisar melhor o ponto de encontro das curvas.

O valor de x que procuramos é o valor da abscissa na interseção das curvas. Logo, considerando um erro de magnitude 10 - 8 , o valor de x para f ( x )   =   0 está entre 1,3247179570 e 1,324719575

Passo 5

Utilizando uma calculadora científica para resolver a seguinte expressão

1 2   +   69 18 1 3   +   1 2   -   69 18 1 3

Encontramos o valor 1,3247195724. Logo, o resultado observado graficamente está dentro da margem de erro.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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