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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 8.5 - Ex. 11

A gerente de uma lanchonete determina que o tempo médio de espera de seus clientes para serem atendidos seja de 2,5 minutos.

  1. Calcule a probabilidade de um cliente ter de esperar mais de   4 minutos.
  2. Calcule a probabilidade de um cliente ser servido dentro dos primeiros 2   minutos.
  3. A gerente quer fazer uma propaganda dizendo que se o cliente não for atendido dentro de um certo número de minutos, ele receberá um hambúrguer de graça. Mas ela não quer dar hambúrgueres gratuitos para mais que 2 % de seus clientes. O que deve dizer a propaganda?

Passo 1

  1. Nós usaremos uma função de densidade exponencial com μ = 2.5   m i n .

    2. P X > 4 = ∫ 4 ∞ f ( t ) d t = lim x → ∞ ⁡ - e - t 2.5 4 x = 0 + e - 4 2.5 ≈ 0.202

    Passo 2

  2. Dentro dos dois primeiros minutos, é a variação entre 0 e 2 , então,

    3. P 0 ≤ X ≤ 2 = ∫ 0 2 f ( t ) d t = lim x → ∞ ⁡ - e - t 2.5 0 2 = e - 2 2.5 - 1 ≈ 0.551

    Passo 3

  3. A gente precisa encontrar um valor de a tal que P ( X ≥ a ) seja igual a 0.02 , ou P 0 ≤ X ≤ a = 0.98 . Assim, nós temos que

∫ 0 a f t d t = 0.98   ↔ lim x → ∞ ⁡ - e - t 2.5 0 a = 0.98   ↔ - e - a 2.5 - 1 = 0.98   ↔ e - a 2.5 = 0.02

- a 2.5 = ln ⁡ 0.02   ↔ a = - 2.5 ln ⁡ 1 50 = 2.5 ln ⁡ 50 ≈ 9.78 m i n ≈ 10 m i n

Então a propagando deve dizer que se você não estiver servido em 10   m i n u t o s , ganha um hambúrguer grátis.

Resposta

  1. 0.202
  2. 0.551
  3. 10   m i n u t o s
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