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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.7 - Ex. 72 a

A região do exercício 71 é girada em torno do eixo x e gera um sólido .

  1. Determine o Volume do sólido.

Passo 1

Vamos tentar rotacionar essa curva em relação ao eixo x. Vejamos o gráfico abaixo:

Dá pra notar que ele tem um raio interno e um externo, não é?

Lembre-se que para calcular o volume de um sólido rotacionado em relação ao eixo x , que tem dois raios, usamos a seguinte fórmula,

V = ∫ a b   π ( R x 2 - r x 2 )   d x  

Onde R é o raio externo e r o raio interno da rotação em torno do eixo x .

Passo 2

Vamos tentar encaixar nosso problema à situação acima, beleza?

Dá pra perceber, olhando a figura que nosso R x =     s e c x   e r = t g x  

Agora, vamos definir quem seria nossos limites de integração, beleza?

Como a rotação foi feita com nossa função no intervalo [ 0 , π 2 ] , já temos nossos limites de integração. E nosso volume vai ser dado por:

V =     ∫ 0 π 2     π sec 2 ⁡ x - t g 2 x   d x  

Passo 3

Se olharmos para o gráfico direitinho ou só pensarmos um pouquinho a mais, da pra notar que quando x = π 2 , as funções do integrando não estão bem definidas, então, vamos dá uma mudada na integral. Ou seja,

∫ 0 π 2     s e c x - t g x   d x =   lim b → π 2 ⁡   ∫ 0 b     sec 2 ⁡   x - t g 2 x   d x

Passo 4

Fuçando na memória, temos uma identidade trigonométrica da seguinte forma t g 2 + 1 = sec 2 ⁡ x   . Então, isolando a tangente, nossa integral fica

π ∫ 0 π 2     sec 2 ⁡ x - t g 2 x   d x = π ∫ 0 π 2       sec 2 ⁡ x   - s e x 2 x - 1 d x

Agora ficou fácil, né ? Hhahah

∫ 0 π 2       sec 2 ⁡ x   - s e x 2 x - 1 d x =   ∫ 0 π 2 d x       = π 2 2

Resposta

V = π 2 2  

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