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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.3 - Ex. 3

Calcule a integral usando a substituição trigonométrica indicada. Esboce e coloque legendas no triângulo retângulo associado.

∫ x 3 x 2 + 9 d x ; x = 3 tg ⁡ θ

Passo 1

Olá, meu querido amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Essas integrais com substituição trigonométricas são um pouco confusas, mas vamos fazer passo a passo com calma que você vai ver que com a prática é possível não se descabelar por isso (ou não rs).

Para essas situações é interessante utilizar substituições trigonométricas. A tabela abaixo nos ajuda com elas:

O triângulo retângulo associado a esse desenho é o seguinte:

Passo 2

A gente tem que x = 3 tg ⁡ θ , e θ varia no intervalo - π 2 ≤ θ ≤ π 2 .

Assim, se fizermos a derivada de x , a gente tem d x = 3 sec 2 ⁡ θ d θ .

Agora, achando o valor da nossa hipotenusa x 2 + 9 por meio da substituição de x , temos:

x 2 + 9 = 3 tg ⁡ θ 2 + 9

= 9 tg 2 ⁡ θ + 9

= 9 tg 2 ⁡ θ + 1

= 9 s e c 2

= 3 sec ⁡ θ

= 3 sec ⁡ θ

para os valores relevantes de θ .

Passo 3

Assim, o valor da nossa integral é:

∫ x 3 x 2 + 9 d x = ∫ 3 3 tg 3 ⁡ θ 3 sec ⁡ θ 3 sec 2 ⁡ θ d θ

= 3 3 ∫ tg 3 ⁡ θ sec ⁡ θ d θ

= 3 3 ∫ tg 2 ⁡ θ tg ⁡ θ sec ⁡ θ d θ

= 3 3 ∫ sec 2 ⁡ θ - 1 tg ⁡ θ sec ⁡ θ

Faremos a seguinte substituição:

u = sec ⁡ θ   ,   d u = sec ⁡ θ tg ⁡ θ d θ

Então,

∫ x 3 x 2 + 9 d x = 3 3 ∫ u 2 - 1 d u

= 3 3 1 3 u 3 - u + C

= 3 3 1 3 sec 3 ⁡ θ - sec ⁡ θ + C

= 3 3 1 3 x 2 + 9 3 2 3 3 - x 2 + 9 3 + C

= 1 3 x 2 + 9 3 2 - 9 x 2 + 9 + C

Ou

1 3 x 2 - 18 x 2 + 9 + C

Resposta

1 3 x 2 - 18 x 2 + 9 + C .

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