Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.3 - Ex. 27
Use o teorema de Rolle para provar que a equação
tem exatamente uma raiz no intervalo .
Passo 1
Seja Observe que:
Observe que é contínua, por ser uma função polinomial. Deste fato, e como e , temos que existe um tal que . Ou seja, a equação
admite solução no intervalo .
Passo 2
Vamos supor que não é a única solução de no intervalo . Assim, existe b de forma que
Observe que, como é polinomial ela é contínua e derivável para qualquer , em particular será contínua no intervalor e derivável em . E como , pelo teorema de Rolle temos que existe de forma que .
Das regras de derivação temos:
Assim
Porém, como , e , temos , o que é um absurdo.
Portanto, a equação só admite uma solução no intervalo , como queríamos mostrar.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)