Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.3 - Ex. 26
Prove, pelo teorema de Rolle, que a equação , onde é qualquer constante, não pode ter mais do que uma raiz real.
Passo 1
Seja . Suponha que existem , com , tais que , ou seja, e são soluções da equação .
Observe que é uma função polinomial, logo é contínua e derivável para qualquer intervalo de números reais. Em particular, é contínua em e derivável em .
Passo 2
Assim, pelo teorema de Rolle, existe tal que . Pelas regas de derivação temos , ou seja, .
Note que, como , . Assim, e .
Ou seja, temos e , o que é um absurdo pois .
Portanto não existem e reais tais que , ou seja, não pode ter mais do que uma raiz real, como queríamos mostrar.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
Exercícios de Livros Relacionados
Verifique se a função satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor Médio no intervalo dado. Então, encontre todos os números c que satisfaçam a conclusão do Teorema do Valor Médio: f x = e - 2 x ,[ 0,3 ]
Verifique se a função satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor Médio no intervalo dado. Então, encontre todos os números c que satisfaçam a conclusão do Teorema do Valor Médio: f x = x 3 + x - 1 ,[ 0
Se f 1 = 10 e para f ' ( x ) ≥ 2 para 1 ≤ x ≤ 4 quão pequeno f ( 4 ) pode ser?
Suponha que f e g sejam contínuas em [a, b] e deriváveis em ( a ,b ) . Suponha também que f a = g ( a ) e f ' xg ' ( x ) para axb . Prove que f bg ( b ) . [Sugestão: Aplique o Teorema do Valor Médio p
Dois corredores iniciam uma corrida no mesmo instante e terminam empatados. Demonstre que em algum momento durante a corrida, eles tinham a mesma velocidade. [Sugestão: Considere f t = g t - h ( t ) ,