Prove, pelo teorema de Rolle, que a equação , onde é qualquer constante, não pode ter mais do que uma raiz real.
Passo 1
Seja . Suponha que existem , com , tais que , ou seja, e são soluções da equação .
Observe que é uma função polinomial, logo é contínua e derivável para qualquer intervalo de números reais. Em particular, é contínua em e derivável em .
Passo 2
Assim, pelo teorema de Rolle, existe tal que . Pelas regas de derivação temos , ou seja, .
Note que, como , . Assim, e .
Ou seja, temos e , o que é um absurdo pois .
Portanto não existem e reais tais que , ou seja, não pode ter mais do que uma raiz real, como queríamos mostrar.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)