Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.4 - Ex. 13
Calcule a integral.
Passo 1
Faala ae, beleza?? Bora resolver essa integral?
Nós temos que:
Então, repare que temos uma divisão de polinômios um pouco mais complexos, não daria para resolver por substituição... Vamos usar frações parciais!
Para isso, a primeira coisa aqui é achar as raízes do polinômio no denominador, para poder fatorá-lo. Logo, vamos achar as raízes de:
Beleza! Podemos colocar o em evidência, concorda? Assim:
O fato de que já nos basta para seguir com o método, pois já podemos ver a fatoração do polinômio e que suas raízes são (2 vezes) e . Mas, caso queira fazer conta, você pode seguir esse raciocínio:
Bom, então, ou ou . Da primeira hipótese, temos:
Certo? O aparece duas vezes como raiz. Da outra hipótese, temos:
Beleza?? De fato, e são as raízes, lembrando que, como , o vai “aparecer duas vezes” nas raízes.
Passo 2
Ok, antes de separar em frações parciais, o ideal seria ter um numerador de grau menor que o denominador, beleza? Então, vamos manipular essa fração:
Sem mais delongas, agora que temos a fatoração do polinômio no denominador, podemos aplicar frações parciais dessa forma:
Passo 3
Agora vamos fazer frações parciais nesse carinha aqui:
Multiplicando tudo por :
Juntando em potências de que aparecem em comum:
Fazendo a comparação entre os dois lados, ficamos então com o seguinte sisteminha:
Da terceira equação temos que .
Se jogarmos esse valor na segunda equação achamos que e depois indo pra terceira vemos que .
Então aquele carinha em frações parciais fica:
E então a nossa expressão original fica:
Passo 4
Agora temos 4 integraizinhas, bem mais simples que a original, pra resolver:
Vambora, então! Vamos resolver uma de cada vez, começando pela:
Tranquila essa né? Vamos já para a próxima:
Usando a propriedade do logaritmo:
Próxima:
Por último:
Fazendo e os limites de integração passam a ser para e para . Assim:
Beleza?
Passo 5
Agora podemos juntar tudo naquela expressão que vimos no início do passo anterior:
Substituindo os valores que encontramos:
Organizando:
Prontinho! Acabou!