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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.4 - Ex. 4

Escreva as formas de decomposição em frações parciais da função (como no exemplo 7). Não determine os valores numéricos dos coeficientes.

a) x 4 - 2 x 3 + x 2 + 2 x - 1 x 2 - 2 x + 1

b) x 2 - 1   x 3 + x 2 + x  

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema temos que escrever as frações x 4 - 2 x 3 + x 2 + 2 x - 1 x 2 - 2 x + 1 e x 2 - 1   x 3 + x 2 + x   em frações parciais.

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

A ideia de decompor uma fração em frações parciais é simplificar uma fração que normalmente seria muito dificil de se trabalhar para um conjunto de frações que seja mais simples.

Fazemos isso fatorando o polinômio do denominador, separando em 2 ou mais frações e encontrando os numeradores igualando com o outro lado da equação.

Vamos analisar cada caso separadamente...

Veja só! 😉

Passo 2

Vamos encontrar resolver primeiro o item a).

Note que precisamos reescrever o numerador, pois o grau é maior que o do denominador. Então fazendo uma divisão de polinômios, isto é, do numerador pelo denominador,

x 4 - 2 x 3 + x 2 + 2 x - 1 x 2 - 2 x + 1 = x 2 - 2 x + 1 x 2 + 2 x - 1   x 2 - 2 x + 1

Reescrevendo,

x 2 - 2 x + 1 x 2 + 2 x - 1   x 2 - 2 x + 1 =   x 2 + 2 x + 1     x 2 - 2 x + 1

Note que precisamos reescrever o denominador em termos de grau menor apenas, já que agora o grau do numerador é menor que o do denominador

x 2 + 2 x + 1     x 2 - 2 x + 1   =   x 2 + 2 x + 1   x + 1 2

Agora é só separar cada termo do denominador da função no denominador de uma fração e coloca a constante no numerador, conforme as regrinhas do livro.

x 2 + 2 x + 1   x + 1 2 =     x 2 + A x + B x + 1 2 + D x + E x + 1

Portanto, chegamos em

x 4 - 2 x 3 + x 2 + 2 x - 1 x 2 - 2 x + 1 = x 2 + A x + B x + 1 2 + D x + E x + 1

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Vamos resolver o item b)

Note que precisamos reescrever o denominador em termos de grau menor apenas, já que o grau do numerador é menor que o do denominador

x 2 - 1   x 3 + x 2 + x   = x 2 - 1 x x 2 + x + 1

Agora é só separar cada termo do denominador da função no denominador de uma fração e coloca a constante no numerador, conforme as regrinhas do livro.

x 2 - 1   x 3 + x 2 + x   = A x + B x + 1 x 2 + x + 1  

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

x 4 - 2 x 3 + x 2 + 2 x - 1 x 2 - 2 x + 1 = x 2 + A x + B x + 1 2 + D x + E x + 1

x 2 - 1   x 3 + x 2 + x   = A x + B x + 1 x 2 + x + 1  

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