Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 5.2 - Ex. 63
Demonstre a Propriedade das integrais.
Passo 1
E aí, beleza? Esse enunciado aí está muito econômico, né? Então bora começar dizendo como é essa tal de propriedade 3 das integrais: Seja uma função integrável e uma constante qualquer, então vale que
Deixando o matematiquês um pouco de lado, o que essa propriedade nos diz é que a integral de uma constante vezes uma função é a constante vezes a integral da função.
Precisamos demonstrar essa igualdade, mas como vamos fazer isso?
💡 Que tal usarmos a definição de integral definida como uma soma de Riemann? Pensa só, usando essa definição, vale que
Isso parece que vai nos ajudar, pois envolve o cálculo de um limite e sabemos que se é uma sequencia, então:
Nos passos a seguir, vamos mostrar como usamos essa propriedade para resolver a questão.
Passo 2
Como a constante e os valores de são números reais, podemos usar a propriedade distributiva. Então, o limite da definição de integral definida vai ficar assim, oh:
Basicamente, o que fizemos foi colocar a constante em evidência, pois ela aparece em todos os termos do somatório.
Passo 3
Agora, vamos usar a propriedade do limite que diz que: o limite do produto entre uma constante e uma sequência é o produto entre a constante e o limite da sequência. Assim, vale que:
Passo 4
Agora só precisamos juntar as igualdades dos passos anteriores e finalizar a questão.
No passo 2:
No passo 3:
Logo, vale o seguinte:
Para acabar, vamos usar a definição de integral definida como soma de Riemann novamente. Como? Espia só!
e
Juntando essas duas últimas igualdades, demonstramos a propriedade das integrais:
Resposta
Nos passos anteriores, usamos a definição de integral e propriedades do limite de uma série e dos números reais para demonstrar que: Seja uma função integrável e uma constante qualquer, então vale que