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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 5.2 - Ex. 60

Use a Propriedade 8 para estimar o valor da integral.

∫ π 2 π x - 2 sen ⁡ x   d x

Passo 1

Fala aí, tudo certinho com você?

Bom, nessa questão teremos que usar a propriedade 8 das integrais para estimar o valor da integral:

∫ π 2 π x - 2 sen ⁡ x   d x

Vamos ver qual a propriedade é essa então.

A propriedade 8 do livro-texto, nos afirma que:

Se tivermos uma função f ( x ) contínua em um intervalo a , b com um máximo absoluto M e um mínimo absoluto m , então a área do gráfico de f é menor ou igual que a área do retângulo de altura M e maior ou igual que o retângulo de altura m .

Em termos matemáticos, isso quer dizer que:

m b - a ≤ ∫ a b f x d x   ≤ M b - a

Vamos aplicar isso a nossa integral.

Vem comigo.

Passo 2

Se nomearmos uma função f e definirmos ela como

f x = x - 2 sen ⁡ x

devemos procurar seus valores mínimo e máximo absolutos.

Para isso devemos saber até onde f cresce e decresce no intervalo

a , b = π , 2 π

que é o intervalo de integração, e podemos fazer isso por meio do teste da derivada:

f ' x = 1 - 2 cos ⁡ x

Para f ' x = 0 em π ≤ x ≤ 2 π

f ' x = 1 - 2 cos ⁡ x = 0

cos ⁡ x = 1 2

Como π ≤ x ≤ 2 π :

x = 5 π 3

Assim, podemos concluir que:

Para π < x < 5 π 3 :

f ' x > 0

f é crescente

Para 5 π 3 < x < 2 π :

f ' x < 0

f é decrescente

Desse modo o temos o máximo absoluto em x = 5 π 3 cujo valor máximo é:

M = f 5 π 3 = x - 2 sen ⁡ x = 5 π 3 - 2 sen ⁡ 5 π 3 = 5 π + 3 3 3 ≈ 6,97

E o mínimo então só pode ser um dos extremos x = π ou x = 2 π :

f π = π - 2 sen ⁡ π = π

f 2 π = 2 π - 2 sen ⁡ 2 π = 2 π

Portanto, m = f π = π

Passo 3

Temos então:

m b - a ≤ ∫ a b f x d x   ≤ M b - a

Como a = π , b = 2 π ,   f x = x - 2 sen ⁡ x , m = π e M = 5 π + 3 3 3 :

π π ≤ ∫ π 2 π x - 2 sen ⁡ x   d x ≤ 5 π + 3 3 3 π

π 2 ≤ ∫ π 2 π x - 2 sen ⁡ x   d x ≤ π 3 5 π + 3 3

E prontinho. Achamos o valor de nossa integral.

Resposta

O valor de ∫ π 2 π x - 2 sen ⁡ x   d x está entre π 2 e π 3 5 π + 3 3 pois:

π 2 ≤ ∫ π 2 π x - 2 sen ⁡ x   d x ≤ π 3 5 π + 3 3

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