Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.3 - Ex. 1
Expresse o limite como integral definida.
Onde é uma partição de
Passo 1
Temos que transformar uma soma de Riemann, no qual a norma da partição tende a 0, em uma integral definida. Desta forma, precisamos descobrir quem é a função e os números reais e tais que:
Em que é o integrando, o limite inferior e o limite superior. Os números e serão os dois extremos da partição da função. Já para descobrir quem é , basta fazer a substituição , pois a soma de Riemann é dada da seguinte forma.
Passo 2
A partição é o intervalo . Portanto, o limite inferior é 0 e o superior é 2. Consequentemente, os números reais e são:
Passo 3
Para descobrirmos quem é o integrando, vamos fazer a substituição no limite que devemos calcular. Assim temos:
Comparando o que obtemos com o limite da soma de Riemann, isto é:
Descobrimos que .
Passo 4
Compondo todos os resultados que descobrimos anteriormente, podemos enfim escrever a seguinte integral definida: