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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.3 - Ex. 12c

Suponha que int_(- 3)^0 g (t) d t = sqrt(2) . Calcule:

  1. int_0^(- 3) g (t) d t
  2. int_(- 3)^0 g (u) d u
  3. int_(- 3)^0 [- g (x)] d x
  4. int_(- 3)^0 (g ( r ))/(sqrt(2)) d r

Passo 1

Para resolver esta questão, precisamos descobrir alguma associação entre a integral de cada uma das letras com os valores das integrais já dados. Para isto, será de extrema importância usarmos e abusarmos das propriedades de integrais definidas, presentes na Tabela 5.4!!! Discutiremos cada uma das propriedades de acordo com a conveniência de cada letra.

Passo 2

A integral que precisamos calcular é:

int_(- 3)^0 [- g (x)] d x

A única diferença para a integral da questão é a variável de integração, que ao invés de ser t , é x . Esta mudança não afeta em nada o valor da integral. Se fizermos x = t ⟹ d x = d t . Consequentemente, temos:

int_(- 3)^0 [- g (x)] d x = int_(- 3)^0 [- g (t)] d t

Passo 3

Agora, se utilizarmos a propriedade da multiplicação por um escalar para colocar o sinal negativo para fora da integral, obtemos:

int_(- 3)^0 [- g (t)] d t = - int_(- 3)^0 g (t) d t

int_(- 3)^0 [- g (t)] d t = - sqrt(2)

Resposta

int_(- 3)^0 [- g (x)] d x = - sqrt(2)

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