Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 5.2 - Ex. 69
Expresse o limite como uma integral definida.
[Sugestão: Considere ]
Passo 1
Fala, galera! Tudo certo? Vamos dar uma olhada nesse enunciado e na sugestão e tentar lembrar de algo que possa nos ajudar a resolver isso?
Precisamos expressar o limite do somatório
como sendo uma integral definida. Beleza, mas que isso quer dizer?
Vamos lembrar da definição de integral definida como o limite de uma soma de Riemann. Dados e , e uma função definida no intervalo , temos que
com e uma quantidade de divisões do intervalo , sempre que o limite existe.
Reparou que o limite no lado direito dessa igualdade se parece muito com o limite do enunciado? Pois é! Para eles serem iguais, vamos encontrar uma função , e valores para e que façam com que
Para a função, temos a sugestão dada: . Vamos encontrar os valores que ainda faltam nos próximos passos.
Passo 2
Para tornar o trabalho mais simples, vamos focar nos somatórios dentro dos limites e manipular a igualdade que queremos obter.
Substituindo no somatório
e comparando com o somatório dado no enunciado, podemos reescrever a igualdade procurada como:
Multiplicando tudo por , conseguimos simplificar o denominador dos termos que estão no somatório. Isso é possível, pois está fixo, já que o somatório depende apenas de . Então, a igualde se torna:
Passo 3
Vamos encontrar valores para e . A questão não define um intervalo específico para a integral definida. Isso nos dá a liberdade de escolher valores para e que tornem a tarefa mais simples.
Escolhendo e , vamos ter e e podemos reescrever a igualdade procurada como:
Passo 4
Agora, vamos escolher os pontos . Pensa assim: temos algumas restrição para esses pontos? No enunciado não, mas pela definição de integral definida, sim. Esses pontos devem estar nos intervalos , onde !
Como escolhemos e , então deve estar no intervalo
Além disso, queremos que
seja verdade. Que tal testarmos os extremos dos subintervalos na função sugerida Olha que legal, se, então com , conseguimos o que queremos.
Passo 5
Para finalizar, vamos juntar as informações e escolhas que fizemos nos Passos 2 e 3.
Temos que
e
Assim, uma integral definida que expressa o limite dado é