Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 5.2 - Ex. 69

Expresse o limite como uma integral definida.

[Sugestão: Considere ]

Passo 1

Fala, galera! Tudo certo? Vamos dar uma olhada nesse enunciado e na sugestão e tentar lembrar de algo que possa nos ajudar a resolver isso?

Precisamos expressar o limite do somatório

como sendo uma integral definida. Beleza, mas que isso quer dizer?

Vamos lembrar da definição de integral definida como o limite de uma soma de Riemann. Dados e , e uma função definida no intervalo , temos que

com e uma quantidade de divisões do intervalo , sempre que o limite existe.

Reparou que o limite no lado direito dessa igualdade se parece muito com o limite do enunciado? Pois é! Para eles serem iguais, vamos encontrar uma função , e valores para e que façam com que

Para a função, temos a sugestão dada: . Vamos encontrar os valores que ainda faltam nos próximos passos.

Passo 2

Para tornar o trabalho mais simples, vamos focar nos somatórios dentro dos limites e manipular a igualdade que queremos obter.

Substituindo no somatório

e comparando com o somatório dado no enunciado, podemos reescrever a igualdade procurada como:

Multiplicando tudo por , conseguimos simplificar o denominador dos termos que estão no somatório. Isso é possível, pois está fixo, já que o somatório depende apenas de . Então, a igualde se torna:

Passo 3

Vamos encontrar valores para e . A questão não define um intervalo específico para a integral definida. Isso nos dá a liberdade de escolher valores para e que tornem a tarefa mais simples.

Escolhendo e , vamos ter e e podemos reescrever a igualdade procurada como:

Passo 4

Agora, vamos escolher os pontos . Pensa assim: temos algumas restrição para esses pontos? No enunciado não, mas pela definição de integral definida, sim. Esses pontos devem estar nos intervalos , onde !