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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.2 - Ex. 22

Se r t = ( e 2 t ,   e - 2 t , t e 2 t ) , determine   T 0 ,   r ' ' ( 0 ) e r ' t ⋅ r ' ' ( t ) .

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte equação vetorial:

r t = e 2 t ,   e - 2 t , t e 2 t

Queremos determinar o vetor tangente unitário T ( t ) no ponto t = 0 .

Para isso, temos que saber que o vetor tangente unitário T ( t ) é dado por:

T t = 1 r ' t ⋅ r ' ( t )

Onde r ' t é a derivada de r t . No denominador a gente tem o módulo dessa derivada (que também é um vetor).

Depois que descobrirmos isso, basta substituirmos o valor de t dado.

Em seguida, também devemos derivar novamente r ' t e aplicar o ponto t = 0 para descobrirmos r ' ' t .

Por fim, devemos fazer o produto escalar r ' t ∙ r ' ' t .

Passo 2

A derivada r ' ( t ) da função vetorial r ( t ) é obtida derivando-se seus componentes individualmente:

r ' t = e 2 t ' ,   e - 2 t ' , t e 2 t '

r ' t = 2 e 2 t , -   2 e - 2 t ,   t 2 e 2 t + e 2 t

r ' t = 2 e 2 t , -   2 e - 2 t ,   e 2 t ( 2 t + 1 )

A segunda derivada, por sua vez, é obtida derivando-se a primeira derivada. Logo, temos:

r ' ' t = 4 e 2 t ,   4 e - 2 t ,   2 e 2 t + 2 e 2 t 2 t + 1

r ' ' t = 4 e 2 t ,   4 e - 2 t ,   2 e 2 t ( 2 + 2 t )

r ' ' t = 4 e 2 t ,   4 e - 2 t ,   e 2 t ( 4 + 4 t )

Passo 3

O vetor tangente unitário em t = 0 da função vetorial é dado por:

T 0 = r ' 0 r ' 0

Por isso vamos calcular r ' ( 0 ) , bastando para isso, substituir t = 0 no vetor obtido no primeiro passo.

r ' 0 = 2 e 0 , -   2 e 0 ,   e 0 ( 0 + 1 )

r ' 0 = 2 ,   - 2 ,   1

O módulo do vetor acima pode ser calculado facilmente como mostrado a seguir:

r ' 0 = 2 2 + - 2 2 + 1 2

r ' 0 = 9 = 3

Agora já podemos calcular T ( 0 ) :

T 0 = 1 r ' 0 ⋅ r ' ( 0 )

T 0 = 1 3 ⋅ 2 ,   - 2 ,   1

T 0 = 2 3 ,   - 2 3 , 1 3

Passo 4

Para obter r ' ' ( 0 ) basta substituir t = 0 no vetor r ' ' ( t ) obtido no Passo 1.

r ' ' 0 = 4 e 0 ,   4 e 0 ,   e 0 ( 4 + 0 )

r ' ' 0 = 4 ,   4 ,   4

Passo 5

Das derivadas da função vetorial, obtidas no Passo 1, calculamos o produto escalar

r ' t ⋅ r ' ' ( t ) :

r ' t ⋅ r ' ' t = 2 e 2 t , -   2 e - 2 t ,   e 2 t 2 t + 1 ⋅ 4 e 2 t ,   4 e - 2 t ,   e 2 t ( 4 + 4 t )

= 2 e 2 t   4 e 2 t + -   2 e - 2 t 4 e - 2 t + e 2 t 2 t + 1 [ e 2 t 4 + 4 t ]

= 8 e 4 t - 8 e - 4 t + [ e 4 t 8 t 2 + 12 t + 4 ]

= e 4 t 8 t 2 + 12 t + 12 - 8 e - 4 t

Resposta

T 0 = 2 3 ,   - 2 3 , 1 3

r ' ' 0 = 4 ,   4 ,   4

r ' t ⋅ r ' ' t = e 4 t 8 t 2 + 12 t + 12 - 8 e - 4 t

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