Se r t = ( e 2 t ,e - 2 t , t e 2 t ) , determine T 0 ,r ' ' ( 0 ) e r ' t ⋅ r ' ' ( t ) .

T 0 = 2 3 ,- 2 3 , 1 3 r ' ' 0 = 4 ,4 ,4 r ' t ⋅ r ' ' t = e 4 t 8 t 2 + 12 t + 12 - 8 e - 4 t

Enunciado

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte equação vetorial:

Queremos determinar o vetor tangente unitário no ponto .

Para isso, temos que saber que o vetor tangente unitário é dado por:

Onde é a derivada de . No denominador a gente tem o módulo dessa derivada (que também é um vetor).

Depois que descobrirmos isso, basta substituirmos o valor de dado.

Em seguida, também devemos derivar novamente e aplicar o ponto para descobrirmos .

Por fim, devemos fazer o produto escalar .

A derivada da função vetorial é obtida derivando-se seus componentes individualmente:

A segunda derivada, por sua vez, é obtida derivando-se a primeira derivada. Logo, temos:

O vetor tangente unitário em da função vetorial é dado por:

Por isso vamos calcular , bastando para isso, substituir no vetor obtido no primeiro passo.

O módulo do vetor acima pode ser calculado facilmente como mostrado a seguir:

Agora já podemos calcular :

Para obter basta substituir no vetor obtido no Passo 1.

Das derivadas da função vetorial, obtidas no Passo 1, calculamos o produto escalar