Um lago é formado quando a água se acumula em uma depressão cônica de raio a e profundidade h . Suponha que a água flui para dentro a uma taxa constante k e é perdida por evaporação a uma taxa proporcional à área de superfície.

(a) Mostre que o volume V(t) de água no lago em qualquer instante t satifaz a equação diferencial

dV / dt = k - α * π * ((3a / πh)^(2/3)) * (V^(2/3))

Em que alpha é o coeficiente de evaporação.

(b) Encontre a profundidade de equilíbrio de água no lago. Esse equilíbrio é assintoticamente estável?

(c) Encontre uma condição que tem que ser safisfeita para o lago não transbordar.

Passo 1

Como sugerido no item (a), nosso primeiro passo tem que ser resolvendo nossa equação diferencial. Assim tome o passo a baixo.

Passo 2

(a) Vamos olhar primeiro para nosso lago

Assim por simetris de triangulo, temos que, quando a água tiver a uma altura L , temos que

L = r h a

Desta forma temos que o volume de água a esse nível é dado por

V = π r 2 L 3 = π r 3 h 3 a → r = 3 V a π L 2 / 3

Pelo enunciado temos que

d V d t = k - α π r 2 = k - α π 3 a / π h 2 / 3 V 2 / 3

Passo 3

(b) Para encontrarmos a profundidade de equilíbrio, devemos analisar quando a derivada é nula, ou seja

d V d t = k - α π r 2 = 0 → r = k α π

Usando a relação que obtivemos no passo anterior, temos

L a h = k α π → L = h a k α π

Passo 4

(c) temos que quando t → ∞ precisamos que sempre V t < V T , ou seja

d V t d t < d V T d t = 0

O que implica que

k - α π r 2 < 0

Mas lembrando, quando t → ∞ temos que r → a assim

k - α π a 2 < 0

Assim nosso condição é que

á r e a   t o t a l < k / α

Resposta

(b)   L = h a k α π

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