Um lago é formado quando a água se acumula em uma depressão cônica de raio e profundidade . Suponha que a água flui para dentro a uma taxa constante e é perdida por evaporação a uma taxa proporcional à área de superfície.

(a) Mostre que o volume de água no lago em qualquer instante satifaz a equação diferencial

Em que é o coeficiente de evaporação.

(b) Encontre a profundidade de equilíbrio de água no lago. Esse equilíbrio é assintoticamente estável?

(c) Encontre uma condição que tem que ser safisfeita para o lago não transbordar.

(a) Vamos olhar primeiro para nosso lago

Assim por simetris de triangulo, temos que, quando a água tiver a uma altura , temos que

Desta forma temos que o volume de água a esse nível é dado por

Pelo enunciado temos que

(b) Para encontrarmos a profundidade de equilíbrio, devemos analisar quando a derivada é nula, ou seja

Usando a relação que obtivemos no passo anterior, temos

(c) temos que quando precisamos que sempre , ou seja

O que implica que

Mas lembrando, quando temos que assim

Assim nosso condição é que