Considere um tanque de água cilindro de seção reta constante A . Água é bombeada para o tanque a uma taxa constante k e sai através de um pequeno furo de área a no fundo do tanque. Do principio de Torricelli em hidrodinâmica (veja o problema 6 na seção 2.3), segue que a taxa de água através do furo é α a 2 g h , em que h é a profundidade atual da água no tanque, g é a aceleração devido à gravidade e α é um coeficiente de contração que satifaz 0,5 < α < 1,0 .

(a) Mostre que a profundidade de água no tanque em qualquer instante satifaz a equação

d h / d t = ( k - α a 2 g h ) / A

(b) Determine a profundidade de equilíbrio h e da água e mostre que ela é assintoticamente estável. Observe que h e não depende de A .

Passo 1

Problemas de equações diferenciais são o tipo de problema de matemática que devemos logo colocando mão na massa e buscando matematicamente resolve-los.

Passo 2

(a) O primeiro item é mais uma questão de interpretação de texto do que matemática.

Nosso problema sugere que o tanque enche a uma taxa constante k , ou seja

d V d t = k

Mas também sugere que ele se esvazia a uma taxa constante α a 2 g h , ou seja

d V d t = k - α a 2 g h

Mas perceba, podemos escrever que V = A h assim

d A h d t = A d h d t → d h d t = ( k - α a 2 g h ) / A

Passo 3

(b) Em uma dada equação, quando buscando pontos de equilíbrio, queremos saber quando a derivada é nula, ou seja

d h d t = k - α a 2 g h A = 0

Ou seja

k - α a 2 g h = 0

Que assim como sugerido, não depende de A .

Desta forma temos que

h e = k 2 2 g α 2 a 2

Como V t é sempre maior que zero, resolvendo a equação temos que

d V d t = k - α a 2 g h

Deve ser sempre maior que zero, assim nosso ponto é definido como assintoticamente estável.

Resposta

(b)   h e = k 2 2 g α 2 a 2

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