Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.5 - Ex. 19

Considere um tanque de água cilindro de seção reta constante A . Água é bombeada para o tanque a uma taxa constante k e sai através de um pequeno furo de área a no fundo do tanque. Do principio de Torricelli em hidrodinâmica (veja o problema 6 na seção 2.3), segue que a taxa de água através do furo é α a 2 g h , em que h é a profundidade atual da água no tanque, g é a aceleração devido à gravidade e α é um coeficiente de contração que satifaz 0,5 < α < 1,0 .

(a) Mostre que a profundidade de água no tanque em qualquer instante satifaz a equação

d h / d t = ( k - α a 2 g h ) / A

(b) Determine a profundidade de equilíbrio h e da água e mostre que ela é assintoticamente estável. Observe que h e não depende de A .

Passo 1

Problemas de equações diferenciais são o tipo de problema de matemática que devemos logo colocando mão na massa e buscando matematicamente resolve-los.

Passo 2

(a) O primeiro item é mais uma questão de interpretação de texto do que matemática.

Nosso problema sugere que o tanque enche a uma taxa constante k , ou seja

d V d t = k

Mas também sugere que ele se esvazia a uma taxa constante α a 2 g h , ou seja

d V d t = k - α a 2 g h

Mas perceba, podemos escrever que V = A h assim

d A h d t = A d h d t → d h d t = ( k - α a 2 g h ) / A

Passo 3

(b) Em uma dada equação, quando buscando pontos de equilíbrio, queremos saber quando a derivada é nula, ou seja

d h d t = k - α a 2 g h A = 0

Ou seja

k - α a 2 g h = 0

Que assim como sugerido, não depende de A .

Desta forma temos que

h e = k 2 2 g α 2 a 2

Como V t é sempre maior que zero, resolvendo a equação temos que

d V d t = k - α a 2 g h

Deve ser sempre maior que zero, assim nosso ponto é definido como assintoticamente estável.

Resposta

(b)   h e = k 2 2 g α 2 a 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Considere o problema de valor inicial y ' = y 2 + 2 ⋅ y ⋅ t 3 + t 2 ,y 1 = 2 Use o método de Euler com h = 0,1 ; 0,05 ; 0,025e0,01 para explorar a solução desse problema para 1 ≤ t ≤ 3 . Qual é a sua
Considere o problema de valor inicial y ' = - t ⋅ y + 0,1 ⋅ y 3 ,y 0 = α em que α é um número dado.Desenhe um campo de direções para a equação diferencial (ou examine de novo o campo no problema 8). O
Considere o problema de valor inicial y ' = y 2 - t 2 ,y 0 = α em que α é um número dado.Desenhe um campo de direções para a equação diferencial. Observe que existe um valor critico de α no intervalo
Considere o problema de valor inicial y ' = 3 ⋅ t 2 3 ⋅ y 2 - 4 ,y 1 = 0 Use o método de Euler com h = 0,1 , para obter valores aproximados da solução em t = 1,2 ; 1,4 ; 1,6e1,8 .Repita o item (a) com
Em cada um dos problemas de 1 a 4:Encontre os valores aproximados da solução do problema de valor inicial dado em t = 0,1 ; 0,2 ; 0,3e0,4 usando o método de Euler com h = 0,1 .Repita o item (a) com h