Em cada um dos problemas de 13 a 16, resolva o problema de valor inicial dado e determine como o intervalo no qual a solução existe depende do valor inicial y₀ .

y' + y^3 = 0, y(0) = y₀

Passo 1

Vamos lá!!!

Sabemos que a função f t , y é separável, ou seja, conseguimos dividir em duas partes:

y '   = -   y 3  

d y y 3   = -   d t  

Agora, integrando dos dois lados, temos:

∫ d y y 3     =   ∫ -   d t  

-   1 2 y 2   =   -   t + C

  1 2 y 2   =   t + C

A solução é:

y ( t )   =   y 0 2 y 0 t   +   1

Resposta

Quando 2 y 0 t   +   1 >   0 , ou seja, 2 y 0 t   + >   - 1   , se y 0 > 0 , as soluções existirão quando t assumir valores a seguir:

t > - 1 / 2 y 0

Agora, se y 0 = 0 , a solução será: y ( t ) = 0 com todos os valores de t. Porém, se

as soluções existem quando y 0 < 0 , os valores de t serão:

t < - 1 / 2 y 0

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