Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 1.2 - Ex. 3

Pela lei da gravitação universal de Newton, a aceleração de queda livre a de um corpo, tal como o satélite mostrado na Figura 1.16 caindo de uma grande altura, não é a constante g . Em vez disso, a aceleração a é inversamente proporcional ao quadrado da distância r entre oo centro da Terra e o corpo: a = k r 2 , em que k é a constante de proporcionalidade.

  1. Use o fato de que na superfície da terra r = R e a = g para determinar a constante de proporcionalidade k .
  2. Use a segunda lei de Newton e a parte (a) para encontrar uma equação diferencial para a distância r .
  3. Use a regra da cadeia na forma

d 2 r d t 2 = d v d t = d v d r d r d t

Para expressar a equação diferencial da parte (b) como uma equação diferencial envolvendo v   e d v d r .

Passo 1

Opa! Tudo joia?

Vamos lá...

  1. Como a = g , r = R e a = k r 2 (pelo enunciado). Temos que:

    2. g = k R 2

    k = g R 2

    Prontinho! Encontramos a constante de proporcionalidade!

    Passo 2

  2. Usando a = d 2 r d t 2 (a aceleração é a derivada segunda da posição) e a constante que encontramos na parte a ) :

    3. a = d 2 r d t 2 = k r 2 = g R 2 r 2

    Ou seja:

    d 2 r d t 2 = g R 2 r 2

    Essa é a equação diferencial que estávamos procurando!

    Passo 3

  3. Agora usando a regra da cadeia que nos deram:

d 2 r d t 2 = d v d t = d v d r d r d t

E o que encontramos no item (b), temos:

d v d r d r d t = g R 2 r 2

Ou:

v d v d r - g R 2 r 2 = 0

Prontinho! 😉

Resposta

  1. k = g R 2
  2. d 2 r d t 2 = g R 2 r 2
  3. v d v d r - g R 2 r 2 = 0
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 5 a 10, desenhe um campo de direções para a equação dada e diga se as soluções estão convergindo ou divergindo. y ' = y ⋅ ( 3 - t ⋅ y )
Considere o problema de valor inicial y ' = t 2 + y 2 ,y 0 = 1 Use o método de Euler com h = 0,1 ; 0,05 ; 0,025e0,01 para explorar a solução desse problema para 0 ≤ t ≤ 1 . Qual é a sua melhor estimat
Considere o problema de valor inicial y ' = y 2 + 2 ⋅ y ⋅ t 3 + t 2 ,y 1 = 2 Use o método de Euler com h = 0,1 ; 0,05 ; 0,025e0,01 para explorar a solução desse problema para 1 ≤ t ≤ 3 . Qual é a sua
Considere o problema de valor inicial y ' = - t ⋅ y + 0,1 ⋅ y 3 ,y 0 = α em que α é um número dado.Desenhe um campo de direções para a equação diferencial (ou examine de novo o campo no problema 8). O
Considere o problema de valor inicial y ' = y 2 - t 2 ,y 0 = α em que α é um número dado.Desenhe um campo de direções para a equação diferencial. Observe que existe um valor critico de α no intervalo