Pela lei da gravitação universal de Newton, a aceleração de queda livre de um corpo, tal como o satélite mostrado na Figura 1.16 caindo de uma grande altura, não é a constante . Em vez disso, a aceleração é inversamente proporcional ao quadrado da distância entre oo centro da Terra e o corpo: , em que é a constante de proporcionalidade.
- Use o fato de que na superfície da terra e para determinar a constante de proporcionalidade .
- Use a segunda lei de Newton e a parte (a) para encontrar uma equação diferencial para a distância
- Use a regra da cadeia na forma
Para expressar a equação diferencial da parte (b) como uma equação diferencial envolvendo .
Passo 1
Opa! Tudo joia?
Vamos lá...
- Como , e (pelo enunciado). Temos que:
- Usando (a aceleração é a derivada segunda da posição) e a constante que encontramos na parte :
- Agora usando a regra da cadeia que nos deram:
Prontinho! Encontramos a constante de proporcionalidade!
Passo 2
Ou seja:
Essa é a equação diferencial que estávamos procurando!
Passo 3
E o que encontramos no item (b), temos:
Ou:
Prontinho! 😉