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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.7 - Ex. 17

Considere o problema de valor inicial

y ' = y 2 + 2 ⋅ y ⋅ t 3 + t 2 ,   y 1 = 2

Use o método de Euler com h = 0,1 ; 0,05 ; 0,025   e   0,01 para explorar a solução desse problema para 1 ≤ t ≤ 3 . Qual é a sua melhor estimativa para o valor da solução em t = 2,5 ? E em t = 3 ? Seus resultados estão consistentes com o campo de direções no Problema 10?

Passo 1

Para resolvermos esse problema, vamos usar o método de Euler, que consiste em um calculo numérico para as equações em que não temos um valor exato, onde o resultado se aproxima cada vez mais do exato de acordo com o passo usado para o calculo.

Passo 2

Utilizando o método de Euler, temos que a equação usada é dada por

y n + 1 = y n + f n ⋅ h

y n + 1 = y n + y n 2 + 2 ⋅ y n ⋅ t n 3 + t n 2 ⋅ h

Se testarmos alguns valores entre 1 e 3 para cada h , podemos ver que os valores para 2,5 e 3 em cada h é

h = 0,1 → y 2,5 = 15,552 ,   y 3 = 53,0658

h = 0,05 → y 2,5 = 4,4967 ,   y 3 = 5,7029

h = 0,025 → y 2,5 = 2,9191 ,   y 3 = 3,2219

h = 0,01 → y 2,5 = 2,3152 ,   y 3 = 2,4014

Se fizermos uma média, chegamos que um provável valor será y 2,5 = 6,3208 e y 3 = 16,0980 . Observando o gráfico do problema 10, podemos dizer que nossos resultados se aproximam até dos valores no gráfico de direções.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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