Enunciado

Considere o problema de valor inicial

y ' = t 2 + y 2 ,   y 0 = 1

Use o método de Euler com h = 0,1 ; 0,05 ; 0,025   e   0,01 para explorar a solução desse problema para 0 ≤ t ≤ 1 . Qual é a sua melhor estimativa para o valor da solução em t = 0,8 ? E em t = 1 ? Seus resultados estão consistentes com o campo de direções no Problema 9?

Passo 1

Para resolvermos esse problema, vamos usar o método de Euler, que consiste em um calculo numérico para as equações em que não temos um valor exato, onde o resultado se aproxima cada vez mais do exato de acordo com o passo usado para o calculo.

Passo 2

Utilizando o método de Euler, temos que a equação usada é dada por

y n + 1 = y n + f n ⋅ h

y n + 1 = y n + t n 2 + y n 2 ⋅ h

Se testarmos alguns valores entre 0 e 0,8 para cada h , podemos ver que os valores para 0,8 e 1 em cada h é

h = 0,1 → y 0,8 = 3,5078 ,   y 1 = 7,1895

h = 0,05 → y 0,8 = 1,6911 ,   y 1 = 2,0807

h = 0,025 → y 0,8 = 1,2798 ,   y 1 = 1,4016

h = 0,01 → y 0,8 = 1,1004 ,   y 1 = 1,1395

Se fizermos uma média, chegamos que um provável valor será y 0,8 = 1,8948 e y 1 = 2,9528 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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