Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.1 - Ex. 7
Lembre que e que . Em cada um dos problemas de 7 a 10 encontre a transformada de Laplace da função dada; e são constantes reais.
7.
Passo 1
Vamos aplicar a transformada sobre a função dada:
Usando a dica do enunciado:
Fazendo o produto das exponenciais a gente fica com o seguinte:
Passo 2
Agora a gente integra tudo:
O limite aparecer por conta do limite superior da integral tender para infinito, o que torna a integral imporia, então a gente substitui o termo superior por e aplicamos o limite.
Precisamos impor uma condição para , para que quando cresça infinitamente a exponencial tenda para 0, mas para isso, cada exponencial vai precisar de uma condição. Para a primeira fica o seguinte:
E para a segunda:
Juntando as duas:
Passo 3
Agora aplicamos os limites das integrais:
Como as exponenciais caem a zero quando aplicamos o limite pela nossa condição:
Essa vai ser nossa transformada.