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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 2.4 - Ex. 28

28. Demonstre cada afirmação usando a definição ϵ ,   δ de limite.

lim x →   - 6 + ⁡ 6 + x 8 = 0

Passo 1

Eaeee, belezinha? Para fazermos essa, temos que lembrarmos da definição de limite, olha só:

lim x → a ⁡ f x = L

Também, é interessante saber da definição de limites laterais. Mas o que significa um limite lateral???

Bom... refere-se ao comportamento de uma função à medida que a variável de entrada se aproxima de um determinado valor a partir de um lado específico (pela direita ou pela esquerda).

Por exemplo... o limite lateral pela direita é dado da seguinte forma:

lim x → a + ⁡ f x = L

Isso significa que estamos observando o comportamento da função à medida que x se aproxima de a a partir da direita (valores de x ligeiramente maiores que a ).

Por fim, vale lembrar também que se para todo número ϵ > 0 houver um número δ > 0 tal que:

Se 0 < x - a < δ então f x - L < ϵ

Passo 2

Dado um ϵ > 0 , precisamos de um número δ > 0 que dependa de ϵ tal que:

x - - 6 > δ , então 6 + x 8 - 0 < ϵ

Vamos olhar para o seguinte:

6 + x 8 < ϵ

Logo,

6 + x < ϵ 8

Passo 3

Como queremos achar um valor de δ tal que:

x - - 6 > δ

Isto é,

x + 6 > δ

E sabemos que:

6 + x < ϵ 8

Então, basta pegarmos o δ = ϵ 8 que iremos satisfazer a definição

x - - 6 > δ , então 6 + x 8 - 0 < ϵ

Assim,

lim x →   - 6 + ⁡ 6 + x 8 = 0

Resposta

Demonstração

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É dado lim x → a ⁡ f x = L . Determine um número δ para o ε dado tal que f x - L ε sempre que 0x - aδ . Dar exemplos de dois outros números positivos para δ , que também satisfazem a implicação dada.
Para a função cujo gráfico está na figura abaixo, encontre lim x → 0 - ⁡ G ( x ) (b) lim x → 0 + ⁡ G ( x ) (c) lim x → 0 ⁡ G ( x ) (d) G ( 0 )
Para a função cujo gráfico está na figura abaixo, encontre(a) lim x → 2 - ⁡ f ( x ) (b) lim x → 2 + ⁡ f ( x ) (c) lim x → 2 ⁡ f ( x ) (d) f ( 2 )
Para a função cujo gráfico está na figura abaixo, encontre(a) lim x → 0 - ⁡ G ( x ) (b) lim x → 0 + ⁡ G ( x ) (c) lim x → 0 ⁡ G ( x ) (d) G ( 0 )
Para a função cujo gráfico está na figura abaixo, encontre lim x → 0 - ⁡ g ( x ) (b) lim x → 0 + ⁡ g ( x ) (c) lim x → 0 ⁡ g ( x ) (d) g ( 0 )