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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 3.6 - Ex. 14

É dado lim x → a ⁡ f x = L . Determine um número δ para o ε dado tal que f x - L <   ε sempre que 0 < x - a < δ . Dar exemplos de dois outros números positivos para δ , que também satisfazem a implicação dada.

lim x → 5   1 2 - x   ⁡ = - 1 3 ,         ε = 0,25

Passo 1

Para f x - L <   ε       e         0 < x - a < δ , substituindo as variáveis temos que:

1 2 - x - - 1 3 < ε sempre que 0 < x - 5 < δ

Passo 2

Podemos reescrever o primeiro módulo da seguinte maneira a fim de simplifica-lo:

1 2 - x + 1 3 = 3 + 2 - x 3 2 - x = 5 - x 3 2 - x ,   x ≠ 2

Então podemos reescrever que:

5 - x 3 2 - x ,   < ε   s e m p r e   q u e   0 < x - 5 < δ

Passo 3

Supondo que 0 < δ ≤ 1 , da desigualdade 0 < x - 5 < δ , segue que:

x - 5 < 1 ⇒ - 1 < x - 5 < 1 ⇒ 4 < x < 6

Manipulando, temos:

2 < x - 2 < 4 ⇒ 2 < x - 2 < 4 ⇒ 1 2 > 1 x - 2 > 1 4

Portanto, podemos escrever que:

1 2 - x + 1 3 = x - 5 3 x - 2 = 1 3 1 x - 2 x - 5 < 1 3 × 1 2 x - 5 = 1 6 | x - 5 |

Então δ = min ⁡ 6 × 0,25 ; 1 = 1

Resposta

δ = 1

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7-Faça o gráfico de Determine lim x → 1 - ⁡ f ( x ) e lim x → 1 + ⁡ f ( x ) .Existe lim x → 1 ⁡ f ( x ) ? Em caso afirmativo, qual é? Em caso negativo, por que não?
Quais afirmações a seguir sobre a função y = f ( x ) representadas no gráfico são verdadeiras e quais são falsas? lim x → - 1 + ⁡ f x = 1 b) lim x → 0 - ⁡ f x = 0 c) lim x → 0 - ⁡ f x = 1 d) lim x → 0
Seja g x = xs e n 1 x Determine lim x → 0 + ⁡ g ( x ) Em caso afirmativo, qual é? Em caso negativo por que não?Determine lim x → 0 - ⁡ g ( x ) Em caso afirmativo, qual é? Em caso negativo por que não?
Quais afirmações a seguir sobre a função y = f ( x ) representadas no gráfico são verdadeiras e quais são falsas? lim x → - 1 + ⁡ f x = 1 b) lim x → 2 ⁡ f xn a oe x i s t e c) lim x → 2 ⁡ f x = 2 d) l
Seja Determine lim x → 2 + ⁡ f ( x ) e lim x → 2 - ⁡ f ( x ) e f ( 2 ) .Existe lim x → 2 ⁡ f ( x ) ? Em caso afirmativo, qual é? Em caso negativo por que não?Determine lim x → - 1 - ⁡ f ( x ) e lim x