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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 2.4 - Ex. 22

Demonstre cada afirmação usando ϵ δ a definição de limite.

lim x → - 1,5 ⁡ 9 - 4 x 2 3 + 2 x = 6

Passo 1

Opa!Vamos fazer essa questão! O enunciado pede pra a gente escrever o limite dado em termos de ϵ e δ :

lim x → - 1,5 ⁡ 9 - 4 x 2 3 + 2 x = 6

Para isso vamos precisar relembrar a definição de limite:

lim x → a ⁡ f x = L

Se para todo número ϵ > 0 houver um número δ > 0 tal que:

Se 0 < x - a < δ então f x - L < ϵ

Vamos reescrever essas condições sem os módulos e substituir as nossas variáveis pra ficar mais fácil visualizar:

- δ < x - 1,5 < δ

- ϵ < 9 - 4 x 2 3 + 2 x - 6 < ϵ

Beleza, agora vamos colocar a mão na massa!

Passo 2

Temos que:

- ϵ < 9 - 4 x 2 3 + 2 x - 6 < ϵ

Vamos manipular essa equação até conseguirmos relacionar ϵ e δ ! A primeira coisa que podemos fazer é fatorar f ( x ) , fazendo:

9 - 4 x 2 3 + 2 x = 3 - 2 x 3 + 2 x 3 + 2 x = 3 - 2 x

Então temos:

- ϵ < 3 - 2 x - 6 < ϵ

- ϵ < - 3 - 2 x < ϵ

Multiplicando todo mundo por - 1 temos:

ϵ > 3 + 2 x > - ϵ

Subtraindo 3 e multiplicando ½:

1 2 ϵ - 3 2 > x > - 1 2 ϵ - 3 2

Que é o mesmo que:

- 0,5 ϵ - 1,5 < x < 0,5 ϵ - 1,5

Lembrando que:

- δ < x - 1,5 < δ

- δ - 1,5 < x < δ - 1,5

Então por comparação podemos definir:

δ = 0,5 ϵ

Passo 3

Podemos então escrever:

lim x → - 1,5 ⁡ 9 - 4 x 2 3 + 2 x = 6

Se 0 < x - 1,5 < 0,5 ϵ então 9 - 4 x 2 3 + 2 x - 6 < ϵ

Prontinho!

Resposta

lim x → - 1,5 ⁡ 9 - 4 x 2 3 + 2 x = 6

Se 0 < x - 1,5 < 0,5 ϵ então 9 - 4 x 2 3 + 2 x - 6 < ϵ

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