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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.8 - Ex. 5

underset(y -> 0)(lim) (3 y)/(sin 5 y)

Passo 1

Como se trata de uma indeterminação (0)/(0) para resolvermos o limite devemos manipulá-la de forma a não alterar o seu resultado. Primeiramente vamos multiplicar e dividir o limite por 5 e aplicar a propriedade de colocar a constante fora do limite.

underset(y -> 0)(lim) (3 y)/(sin 5 y) * (5)/(5)

(3)/(5) underset(y -> 0)(* lim) (5 y)/(sin 5 y)

Passo 2

Agora vamos substituir 5y por u e mudar a aproximação desse limite de acordo com a substituição.

5 y = u

y -> 0 => u -> 0

(3)/(5) underset(u -> 0)(* lim) (u)/(sin u)

Passo 3

Agora vamos multiplicar e dividir o limite por (1)/(u) e aplicar a propriedade da divisão de limites.

(3)/(5) * underset(u -> 0)(lim) (u)/(sin u) * ((1)/(u))/((1)/(u))

(3)/(5) * (underset(u -> 0)(lim) 1)/(underset(u -> 0)(lim) (sin u)/(u))

Passo 4

Por fim utilizaremos do limite fundamental underset(u -> 0)(lim) (sin u)/(u) = 1 .

(3)/(5) * (underset(u -> 0)(lim) 1)/(underset(u -> 0)(lim) (sin u)/(u))

(3)/(5) * (1)/(1)

(3)/(5)

Resposta

underset(y -> 0)(lim) (3 y)/(sin 5 y) = (3)/(5)

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