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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.Exercícios adicionais e avançados - Ex. 15

Limitação das derivadas parciais de primeira ordem implica continuidade Prove o seguinte teorema: Se ƒ(x, y) é

definida em uma região aberta R do plano xy e se ƒx e ƒy são

limitadas em R, então ƒ(x, y) é contínua em R. (A suposição da

limitação é essencial.)

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício provaremos o seguinte teorema: se f ( x , y ) é definida em uma região aberta R do plano x y , e se f x e f y são fronteiras em R , então f ( x , y ) é contínua em R .Vamos para a resolução? Acompanhe com atenção!

Passo 2

Seja x 0 , y 0 qualquer ponto em R . Precisamos mostrar que l i m ( x , y ) → x 0 , y 0   f ( x , y ) = f x 0 , y 0 , ou, de maneira similar, que

l i m ( h , k ) → ( 0,0 )   f x 0 + h , y 0 + k - f x 0 , y 0 = 0

Consideraremos que:

f x 0 + h , y 0 + k - f x 0 , y 0 = f x 0 + h , y 0 + k - f x 0 , y 0 + k + f x 0 , y 0 + k - f x 0 , y 0

Se F ( x ) = f x , y 0 + k , e aplicando o teorema do valor central, teremos um valor ξ com x 0 < ξ < x 0 + h de forma que F ' ( ξ ) h = F x 0 + h - F x 0 Rearranjando para ficar mais claro, temos:

h f x ξ , y 0 + k - f x 0 + h , y 0 + k

De maneira similar:

k f y x 0 , η = f x 0 , y 0 + k - f x 0 , y 0

Para algum η com y 0 < η < y 0 + k Então:

f x 0 + h , y 0 + k - f x 0 , y 0 ≤ h f x ξ , y 0 + k + k f y x 0 , η

E, se M e N são números reais positivos de forma que: f x ≤ M , f y ≤ N para qualquer ( x , y ) no plano x y , então:

f x 0 + h , y 0 + k - f x 0 , y 0 ≤ M | h | + N | k |

Passo 3

Assim, conforme ( h , k ) → 0 teremos que:

f x 0 + h , y 0 + k - f x 0 , y 0 → 0

Portanto l i m ( h , k ) → ( 0,0 )   f x 0 + h , y 0 + k - f x 0 , y 0 = 0 , ou seja, fé contínua em x 0 , y 0 .

Resposta

Resposta nos passos.

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