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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.Exercícios adicionais e avançados - Ex. 21

Derivadas direcionais tangentes a uma superfície Seja S

a superfície que é o gráfico de ƒ(x, y) = 10 – x2 – y2. Suponha que a temperatura no espaço em cada ponto (x, y, z) seja

T(x, y, z) = x2y + y2z + 4x + 14y + z.

a. Entre todas as direções possíveis tangentes à superfície S

no ponto (0, 0, 10), qual direção tornará máxima a taxa de

variação de temperatura em (0, 0, 10)?

b. Qual direção tangencial a S no ponto (1, 1, 8) tornará máxima a taxa de variação da temperatura?

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Você sabe trabalhar com derivadas direcionais tangentes a uma superfície? Pois esta questão trata desse tópico Acompanhe!

Seja S a superfície que é o gráfico f ( x , y ) = 10 - x 2 - y 2 . Suponha que a temperatura em cada ponto ( x , y , z ) é T ( x , y , z ) = x 2 y + y 2 z + 4 x + 14 y + z . Temos que resolver as seguintes perguntas:(a) Dentre todas as direções tangenciais possiveis à superficie S no ponto ( 0,0 , 10 ) , qual direção fará a taxa de mudança de temperatura em ( 0,0 , 10 ) ser máxima?(b) Qual direção tangencial à S no ponto ( 1,1 , 8 ) fará a mudança de temperatura ser máxima?Vamos aos cálculos!

Passo 2

k é um vetor normal à z = 10 - x 2 - y 2 em ( 0,0 , 10 ) . Teremos então que a direção tangencial à Sem ( 0,0 , 10 ) serão os vetores unitários u = a i + b j .Temos também que o gradiente é:

∇ T ( x , y , z ) = ( 2 x y + 4 ) i + x 2 + 2 y z + 14 j + y 2 + 1 k

Aplicando o ponto ( 0,0 , 10 ) :

∇ T ( 0,0 , 10 ) = 4 i + 14 j + k

Procuramos então um vetor unitário u = a i + b j tal que:

D u T ( 0,0 , 10 ) = ( 4 i + 14 j + k ) ⋅ ( a i + b j ) D u T ( 0,0 , 10 ) = ( 4 i + 14 j ) ⋅ ( a i + b j )

Seja um valor máximo.Assim, isso ocorre quando a i + b j possui a mesma direção de 4 i + 14 j , ou seja

u = 1 53 ( 2 i + 7 j )

Passo 3

Um vetor normal à S em ( 1,1 , 8 ) é o n = 2 i + 2 j + k . O gradiente aplicando o ponto é então ∇ T ( 1,1 , 8 ) = 6 i + 31 j + 2 k Procuramos o vetor unitário u de forma que D u T ( 1,1 , 8 ) = ∇ T ⋅ u possua seu maior valor.Escrevendo agora que ∇ T = v + w , onde v é paralelo à ∇ T e w é ortogonal à ∇ T . Assim:

D u T = ∇ T ⋅ u = ( v + w ) ⋅ u D u T = v ⋅ u + w ⋅ u D u T = w ⋅ u

Temos então que D u T ( 1,1 , 8 ) é um valor máximo quando u possuir a mesma direção de w . Ou seja:

w = ∇ T - ∇ T ⋅ n n 2 n w = ( 6 i + 31 j + 2 k ) - 12 + 62 + 2 4 + 4 + 1 ( 2 i + 2 j + k ) w = 6 - 152 9 i + 31 - 152 9 j + 2 - 76 9 k w = - 98 9 i + 127 9 j - 58 9 k

E o vetor unitário é:

u = w | w | = - 1 29,097 ( 98 i - 127 j + 58 k )

Resposta

Resposta nos passos.

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Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v → . f x , y = e xs e ny , 0 , π 3 ,v → = ( - 6 ,8 )
a) Determine o gradiente de f .b) Calcule o gradiente de no ponto P .c) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u → . f x , y = s e n2 x + 3 y , P - 6 ,4 ,u → = 1 2 3 ,- 1
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Determine a derivada direcional de f no ponto dado e na direção indicado pelo ângulo θ . f x , y = x 3 y 4 - x 4 y 3 , 1 ,1 ,θ = π / 6
a) Determine o gradiente de f .b) Calcule o gradiente de no ponto P .c) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u → . f x , y = y 2 x , P 1 ,2 ,u → = 1 3 2 ,5