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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.Exercícios adicionais e avançados - Ex. 1

Função com sela na origem Se você fez o Exercício 60 d a Seção 14.2 , sabe que a função

f ( x , y ) = x y x 2 - y 2 x 2 + y 2 , ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) 0 , ( x , y ) = ( 0,0 )

(veja a figura a seguir) é contínua em ( 0,0 ) . Determine f x y ( 0,0 ) e f y x ( 0,0 ) .

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Você chegou aos exercícios adicionais avançados! Nesta questão temos como tópico as derivadas parciais, função com sela na origem. Nosso objetivo é saber se a equação:

f ( x , y ) = x y x 2 - y 2 x 2 + y 2 , ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) 0 , ( x , y ) = ( 0,0 )

É contínua em ( 0,0 ) e também encontrar f x y ( 0,0 ) e f y x ( 0,0 ) .Vamos aos cálculos? Acompanhe com atenção!

Passo 2

Por definição temos que:

f x y ( 0,0 ) = l i m h → 0   f x ( 0 , h ) - f x ( 0,0 ) h

Assim, é necessário calcular as derivadas parciais no numerador primeiramente. Vamos lá?Para o caso em que ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) , a diferenciação f x ( x , y ) se torna:

f x ( x , y ) = x 2 y - y 3 x 3 + y 2 + ( x y ) x 2 + y 2 ( 2 x ) - x 2 - y 2 ( 2 x ) x 2 + y 2 2 f x ( x , y ) = x 2 y - y 3 x 2 + y 2 + 4 x 2 y 3 x 2 + y 2 2

Para f x ( 0 , h ) , temos então que:

f x ( 0 , h ) = - h 3 h 2 = - h

Passo 3

Já para o caso em que ( x , y ) = ( 0,0 ) a definição de f x ( 0,0 ) nos leva a:

f x ( 0,0 ) = l i m h → 0   f ( h , 0 ) - f ( 0,0 ) h = l i m h → 0   0 - 0 h = 0

E, por definição, f x y ( 0,0 ) vale:

f x y ( 0,0 ) = l i m h → 0   - h - 0 h = - 1

De maneira semelhante:

f y x ( 0,0 ) = l i m h → 0   f y ( h , 0 ) - f y ( 0,0 ) h

Assim, para ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) teremos:

f y ( x , y ) = x 3 - x y 2 x 2 + y 2 - 4 x 3 y 2 x 2 + y 2 2 f y ( h , 0 ) = h 3 h 2 = h

Para ( x , y ) = ( 0,0 ) temos:

f y ( 0,0 ) = l i m h → 0   f ( 0 , h ) - f ( 0,0 ) h f y ( 0,0 ) = l i m h → 0   0 - 0 h = 0

Assim, por definição:

f y x ( 0,0 ) = l i m h → 0   h - 0 h = 1

Observe que neste caso f x y ( 0,0 ) ≠ f y x ( 0,0 ) .

Resposta

Resposta nos passos.

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