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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 2.4 - Ex. 35

  1. Para o limite lim x → 1 ⁡ x 3 + x + 1 = 3 , use um gráfico para determinar o valor do δ correspondente a ε = 0,4 .
  2. Usando um sistema de computação algébrica para resolver a equação x 3 + x + 1 = 3 + ε , determine o maior valor possível para δ que funcione para qualquer ε > 0 dado.
  3. Tome ε = 0,4 na sua resposta da parte (b) e compare com a sua resposta da parte (a).

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... nessa questão iremos fazer três coisinhas.

Primeiramente queremos determinar o valor de δ correspondente a ε = 0,4 para o seguinte limite:

lim x → 1 ⁡ x 3 + x + 1 = 3

Em seguida, vamos utilizar um software matemático para resolver a seguinte equação de modo que deveremos determinar o maior valor possível para δ que funcione para qualquer ε > 0 dado:

x 3 + x + 1 = 3 + ε

Por fim, deveremos tomar ε = 4 e comparar com o valor que encontramos de δ na nossa primeira alternativa.

Para a gente fazer isso, temos que entender a relação sobre esses ε e δ .

Bom... a gente os relaciona da seguinte forma:

Perceba que sempre que um ponto x está dentro de unidades δ de c , f ( x ) está dentro de ε unidades de L .

Agora bora aplicar!! 😉

Passo 2

Agora vamos plotar a seguinte função:

f x = x 3 + x + 1

Para determinar o valor do δ correspondente a ε = 0,4 quando o seguinte limite é satisfeito:

lim x → 1 ⁡ x 3 + x + 1 = 3

Bom... plotando a função f x e analisando o limite no ponto A , temos:

Agora, vamos calcular os pontos para ε = 0,4 :

ε 1 = 3 + 0,4 = 3,4

ε 2 = 3 - 0,4 = 2,6

Assim, temos as retas em vermelho que passam por ε 1 e ε 2 :

Analisando os pontos de interseção com f x , obtemos os valores de δ :

Para ε 1 temos δ 1 = 1,093

Para ε 2 temos δ 2 = 0,891

Dessa forma, escolhendo um dos pontos, temos que:

δ = 1,093 - 1 = 0,093

Obs: também poderíamos fazer δ = 1 - 0,891 = 0,093 .

Passo 3

Resolvendo a equação através de um software matemático, nós temos duas raízes complexas e uma raiz real que é:

x ε = 216 + 108 ε + 12 336 + 324 ε + 81 ε 2 2 3 - 12 6 216 + 108 ε + 12 336 + 324 ε + 81 ε 2 1 3

Logo, δ = x ε - 1

Passo 4

Dessa forma, substituindo ε = 0,4 na equação do passo 3 , iremos obter:

x 0,4 ≈ 1 , 093272342

E, calculando δ :

δ = x 0,4 - 1 ≈ 0 , 093

Que bate com a resposta da letra (a)!!! 😉

Resposta

  1. δ = 0,093 .
  2. δ = x ε - 1
  3. x 0,4 ≈ 1.093272342 e δ = x 0,4 - 1 ≈ 0.093 , o que concorda com a resposta de (a).
Ver Outros Exercícios desse livro

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Encontre os limites.22.underset(y - 6^-)(lim) (y + 6)/(y^2 - 36)
Encontre os limites.18.underset(x - 2^+)(lim) (x)/(x^2 - 4)
Seja g (t) = {[[t - 2 , t0],[t^2 , 0 = t = 2],[2 t , t2]]) , encontre:(a)underset(t - 0)(lim) g ( t ) (b)underset(t - 1)(lim) g ( t ) (c)underset(t - 2)(lim) g ( t ) .
Seja f (x) = {[[x - 1 , x = 3],[3 x - 7 , x3]]) , encontre:(a)underset(x - 3^-)(lim) f ( x ) (b)underset(x - 3^+)(lim) f ( x ) (c)underset(x - 3)(lim) f ( x ) .
(a) Explique por que o argumento a seguir não está correto. l i m x → 0 + 1 x - 2 x 2 + 2 x = l i m x → 0 + 1 x 1 - 2 x + 2 = ∞ ∙ 0 = 0 (b) Mostre que l i m x → 0 + 1 x - 2 x 2 + 2 x = 1 2 .