Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 2.4 - Ex. 29
Demonstre cada afirmação usando a definição , de limite.
Passo 1
Fala aí, belezinha!
Esse exercício pede pra gente demonstrar que:
usando a definição , de limite.
E, cara, calcular o limite pela definição pode um pouco chato, mas relaxa que, como é exatamente isso que é pedido na questão, nos vamos tirar de letra juntos!!!
A definição precisa de limite diz que
Se
“Para todo , existe um tal que se , então ”
Vamos tentar simplificar um pouco essa definição, ok?
O que devemos fazer é achar um em função tal que a afirmação implique na afirmação .
Passo 2
Neste passo vamos pensar em um valor para como se estivéssemos fazendo um esboço.
Seja um número dado, devemos achar tal que
se então
Como neste caso , e , devemos achar tal que
se então
Assim, devemos achar tal que
se então
Devemos agora procurar uma relação para que satisfaça o exposto acima. Note que
Assim, devemos ter que se
então
Tomaremos então
ou ainda,
No próximo passo mostramos que essa escolha é suficiente para demonstrar o limite.
Passo 3
Se tomarmos
temos que se
então
Provamos assim que o limite existe e vale .
Resposta
Demonstração.