Demonstre cada afirmação usando a definição ϵ , δ de limite.

lim x → 2 ⁡ x 2 - 4 x + 5 = 1

Passo 1

Fala aí, belezinha!

Esse exercício pede pra gente demonstrar que:

lim x → 2 ⁡ x 2 - 4 x + 5 = 1

usando a definição ϵ , δ de limite.

E, cara, calcular o limite pela definição pode um pouco chato, mas relaxa que, como é exatamente isso que é pedido na questão, nos vamos tirar de letra juntos!!!

A definição precisa de limite diz que

lim x → a ⁡ f ( x ) = L

Se

“Para todo ϵ > 0 , existe um δ > 0 tal que se 0 < x - a < δ , então f x - L < ϵ

Vamos tentar simplificar um pouco essa definição, ok?

O que devemos fazer é achar um δ em função ϵ tal que a afirmação 0 < x - a < δ implique na afirmação f x - L < ϵ .

Passo 2

Neste passo vamos pensar em um valor para δ como se estivéssemos fazendo um esboço.

Seja ϵ > 0 um número dado, devemos achar δ > 0 tal que

se 0 < x - a < δ então f ( x ) - L < ϵ

Como neste caso L = 1 , a = 2 e f x = x 2 - 4 x + 5 , devemos achar δ tal que

se 0 < x - 2 < δ então x 2 - 4 x + 5 - 1 < ϵ

Assim, devemos achar δ > 0 tal que

se 0 < x - 2 < δ então | x 2 - 4 x + 4 | < ϵ

Devemos agora procurar uma relação para δ que satisfaça o exposto acima. Note que

x 2 - 4 x + 4 = x - 2 2

Assim, devemos ter que se

0 < x - 2 < δ

então

x - 2 2 < ϵ

Tomaremos então

δ 2 = ϵ

ou ainda,

δ = ϵ

No próximo passo mostramos que essa escolha é suficiente para demonstrar o limite.

Passo 3

Se tomarmos

δ = ϵ

temos que se

0 < x - 2 < δ = ϵ

então

x - 2 2 = x 2 - 4 x + 4 < δ 2 = ϵ

Provamos assim que o limite existe e vale 1 .

Resposta

Demonstração.

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