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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 1.2 - Ex. 32

Seja g (t) = {[[t - 2 , t < 0],[t^2 , 0 <= t <= 2],[2 t , t > 2]]) , encontre:

(a) underset(t -> 0)(lim) g ( t ) (b) underset(t -> 1)(lim) g ( t ) (c) underset(t -> 2)(lim) g ( t ) .

Passo 1

Pra esse exercício, trabalhamos com uma função dividida em três leis, que mudam em x = 0 e em x = 2 . Assim, precisamos calcular os limites nesses pontos com muito cuidado!

Precisamos também lembrar que, pra um limite underset(x -> a)(lim) f ( x ) existir, os limites laterais no ponto a precisam existir e serem equivalentes! Avaliemos então o caso dessa função.

Passo 2

(a) underset(t -> 0)(lim) g ( t )

Precisamos verificar se os limites laterais existem, pra confirmar a existência desse limite calculado. Precisamos de underset(t -> 0^-)(lim) g ( t ) e underset(t -> 0^+)(lim) g ( t ) .

À esquerda de 0, calculamos o limite pela primeira lei da função. Temos:

underset(t -> 0^-)(lim) t - 2 = 0 - 2 = - 2

À direita de 0, calculamos pela segunda lei. Temos:

underset(t -> 0^+)(lim) t^2 = 0^2 = 0

Temos os limites laterais diferentes, logo, o limite no ponto não vai existir!

underset(t -> 0)(lim) g ( t ) = ∄

Passo 3

(b) underset(t -> 1)(lim) g ( t )

Precisamos verificar se os limites laterais existem, pra confirmar a existência desse limite calculado. Precisamos de underset(t -> 1^-)(lim) g ( t ) e underset(t -> 1^+)(lim) g ( t ) .

À esquerda de 1, calculamos o limite pela segunda lei da função. Temos:

underset(t -> 1^-)(l i m) t^2 = 1^2 = 1

À direita de 1, calculamos também pela segunda lei. Temos:

underset(t -> 1^+)(l i m) t^2 = 1^2 = 1

Temos os limites laterais existentes e iguais. Assim, concluímos que:

underset(t -> 1)(lim) g ( t ) = 1

Passo 4

(c) underset(t -> 2)(lim) g ( t )

Precisamos verificar se os limites laterais existem, pra confirmar a existência desse limite calculado. Precisamos de underset(t -> 2^-)(lim) g ( t ) e underset(t -> 2^+)(lim) g ( t ) .

À esquerda de 2, calculamos o limite pela segunda lei da função. Temos:

underset(t -> 2^-)(l i m) t^2 = 2^2 = 4

À direita de 2, calculamos pela terceira lei. Temos:

underset(t -> 2^+)(l i m) 2 t = 2 * 2 = 4

Temos os limites laterais existentes e iguais. Assim, concluímos que:

underset(t -> 2)(lim) g ( t ) = 4

Resposta

(a) underset(t -> 0)(lim) g ( t ) = ∄

(b) underset(t -> 1)(lim) g ( t ) = 1

(c) underset(t -> 2)(lim) g ( t ) = 4

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Se r for uma função racional, use o Exercicío 55 para mostrar que lim x → a ⁡ r ( x ) = r ( a ) para todo número a no domínio de r .
Para o limite lim x → 1 ⁡ ( 4 + x - 3 x 3 ) = 2 ilustre a Definição 2 encontrando os valores de δ que correspondam a ε = 1 e ε = 0,1 .
Dado que lim x → π 2 ⁡ tg ² ⁡ x = ∞ ² , ilustre a Definição 6 encontrando os valores de δ que correspondam a M = 1000 M = 10000 .
Para o limite: lim x → 0 ⁡ e x - 1 x = 1 Ilustre a Definição 2 encontrando os valores de δ que correspondam a ε = 0,5 e ε = 0,1 .
Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite. lim x → - 5 ⁡ 4 - 3 x 5 = 7