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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.10 - Ex. 22

22 . A c h e (d^4)/(d t^4) (3 s e n ² ( 2 t ))

Passo 1

Para acharmos o resultado dessa derivada de ordem 4 precisamos ter em mente duas coisas:

1 -Teremos que fazer 4 derivadas. Uma da função dada e três das que conseguiremos através dela, pois a ordem da derivada nos dá essa informação.

2 - Derivaremos as funções usando as regras do produto e da cadeia.

Passo 2

1ª Derivada: Usaremos a função que nos foi dada inicialmente.

(d)/(d t) (3 s e n ² ( 2 t )) = (d)/(d t) (3) * s e n^2 2 t + 3 * (d)/(d t) ( s e n^2 2 t )

= 3 * 2 s e n 2 t * c o s 2 t * 2

= 12 * s e n 2 t c o s 2 t

Passo 3

2ª Derivada: Usaremos a função encontrada no final do Passo 2 dentro do nosso parêntese.

(d)/(d t) (12 * s e n 2 t c o s 2 t) = (d)/(d t) (12) * s e n 2 t c o s 2 t + 12 * (d)/(d t) (s e n 2 t c o s 2 t)

= 12 * (d)/(d t) (s e n 2 t c o s 2 t)

= 12 * [(d)/(d t) (s e n 2 t) * c o s 2 t + (d)/(d t) ( cos 2 t ) * s e n 2 t]

= 12 * [c o s 2 t * 2 * c o s 2 t + ( - sen 2 t ) * 2 * s e n 2 t]

= 12 * 2 [c o s^2 2 t - s e n ² 2 t]

= 24 [c o s^2 2 t - s e n ² 2 t]

Passo 4

3ª Derivada: Usaremos a função encontrada no final do Passo 3 dentro do nosso parêntese.

(d)/(d t) (24 [c o s^2 2 t - s e n ² 2 t]) = (d)/(d t) (24) * ( c o s^2 2 t - s e n ² 2 t ) + 24 * (d)/(d t) (c o s^2 2 t - s e n ² 2 t)

= 24 * (d)/(d t) (c o s^2 2 t - s e n ² 2 t)

= 24 * [(d)/(d t) (c o s ² 2 t) - (d)/(d t) ( sen ² 2 t )]

= 24 * [2 c o s 2 t * (- s e n 2 t) * 2 - 2 s e n 2 t * c o s 2 t * 2]

= 24 * [- 4 * c o s 2 t * s e n 2 t - 4 * c o s 2 t * s e n 2 t]

= 24 * 4 [- c o s 2 t * s e n 2 t - c o s 2 t * s e n 2 t]

= - 192 [c o s 2 t * s e n 2 t]

Passo 5

4ª Derivada: Usaremos a função encontrada no final do Passo 4 dentro do nosso parêntese.

(d)/(d t) (- 192 [c o s 2 t * s e n 2 t]) = (d)/(d t) (- 192) * (c o s 2 t * s e n 2 t) + ( - 19 2 ) * (d)/(d t) (c o s 2 t * s e n 2 t)

= - 192 * [(d)/(d t) (c o s 2 t) * s e n 2 t + (d)/(d t) (s e n 2 t) * c o s 2 t]

= - 192 * [- sen 2 t * 2 * s e n 2 t + c o s 2 t * 2 * c o s 2 t]

= - 192 * 2 [- s e n^2 2 t + c o s^2 2 t]

= - 384 [c o s^2 2 t - s e n ² 2 t]

Passo 6

Prontinho, fizemos as quatro derivações necessárias. Agora para o resultado final é só igualar a derivada de ordem 4 dada no enunciado ao resultado da última derivada que fizemos.

Resposta

(d^4)/(d t^4) (3 s e n ² ( 2 t )) = - 384 [c o s^2 2 t - s e n ² 2 t]

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Determine a derivada. y = sen ⁡ t 3