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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.6 - Ex. 12

int (2 x^3 + 9 x)/(( x^2 + 3 ) ( x^2 - 2 x + 3 )) d x

Passo 1

Vamos arranjar a equação de forma mais conveniente para resolver as frações parcias. Esse passo é feito manipulando as funções, fazendo que ela fique de forma mais agradável para gente, geralmente usamos as raízes para reescrever as equações.

int (2 x^3 + 9 x)/(( x^2 + 3 ) ( x^2 - 2 x + 3 )) d x

Passo 2

Agora vamos para frações parciais, temos que:

(2 x^3 + 9 x)/(( x^2 + 3 ) ( x^2 - 2 x + 3 )) = (A x + B)/(( x^2 + 3 )) + (C x + D)/(( x^2 - 2 x + 3 ))

Isolando 2 x^3 + 9 x , vamos achar

2 x^3 + 9 x = ( A x + B ) ( x^2 - 2 x + 3 ) + ( C x + D ) ( x^2 + 3 )

Resolvendo o sistema de equações acima, temos:

A = 0 ; B = - (3)/(2) ; C = 2 ; D = (3)/(2) ;

Agora substituindo os valores de A e B temos:

(2 x^3 + 9 x)/(( x^2 + 3 ) ( x^2 - 2 x + 3 )) = (- (3)/(2))/(( x^2 + 3 )) + (2 x + (3)/(2))/(( x^2 - 2 x + 3 ))

Passo 3

Já resolvemos as frações parciais, agora só falta resolver a integral.

int (2 x^3 + 9 x)/(( x^2 + 3 ) ( x^2 - 2 x + 3 )) d x = int (- (3)/(2))/(( x^2 + 3 )) d x + int (2 x + (3)/(2))/(( x^2 - 2 x + 3 )) d x

Resposta

int (2 x^3 + 9 x)/(( x^2 + 3 ) ( x^2 - 2 x + 3 )) d x = (7 t a n^(- 1) ((- 1 + x)/(sqrt(2))))/(2 sqrt(2)) - (1)/(2) sqrt(3) t a n^(- 1) ( (x)/(sqrt(3)) ) + l n ( 3 - 2 x + x^2 ) + c

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