Encontre dy/dx por derivação implícita.

e^(x/y) = x - y

Passo 1

Eaee, belezinha??? Bom... queremos derivar implicitamente a seguinte expressão:

e x / y = x - y

Mas o que é a derivada implícita???

Bom... trata-se de um método utilizado para encontrar a taxa de variação de uma variável em relação a outra quando a equação que relaciona essas variáveis não está explicitamente expressa em termos de uma delas.

Em outras palavras, para encontrar d y d x de uma expressão, basta diferenciar ambos os lados da equação em relação a x .

No entanto, como a equação não está explicitamente resolvida para y , você tratará y como uma função implícita de x e usará a regra da cadeia para encontrar a derivada.

Lembrando que a regra da cadeia é dada por:

d y d x = d y d u * d u d x

Agora bora lá aplicar!! 😉

Passo 2

Vamos derivar a equação dada com relação a x .

É importante lembrar que não podemos tratar y como uma constante: ele depende de x e também deve ser derivado!!!

Assim, utilizando a regra da cadeia, teremos que:

f y ' = f ' y ⋅ y '

Derivando a equação e x / y = x - y com relação a x , temos que

e x / y ⋅ x y ' = 1 - y '

Assim,

e x y ⋅ 1 ⋅ y - x ⋅ y ' y 2 = 1 - y '

Fazendo o denominador comum no lado esquerdo, temos que

e x / y y 2   y - x y ' = 1 - y '

Multiplicando em cruz e fazendo a distributiva:

e x / y y - e x / y x y ' = y 2 - y 2 y '

Passo 3

Isolando y ' , temos que

y '   y 2 - e x / y x = y 2 - e x / y y

y ' = y 2 - e x / y y y 2 - e x / y x

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

d y d x = y 2 - e x / y y y 2 - e x / y x

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