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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.5 - Ex. 10

int (x^2 + 4 x - 1)/(x^3 - x) d x

Passo 1

Primeiro vemos que as raízes do denominador são 0, 1 e -1, logo podemos reescrever a equação de forma mais fácil para resolver o problema.

int (x^2 + 4 x - 1)/(x ( x - 1 ) ( x + 1 )) d x

Para x diferente de 0, 1 e -1.

Passo 2

Agora vamos para frações parciais, temos que:

(x^2 + 4 x - 1)/(x ( x - 1 ) ( x + 1 )) = (A)/(x) + (B)/(( x - 1 )) + (C)/((x + 1))

Isolando x^2 + 4 x - 1 , vamos achar

x^2 + 4 x - 1 = A ( x - 1 ) ( x + 1 ) + B x ( x + 1 ) + C x ( x - 1 )

Vemos que agora os valores 0, 1 e -1 fazem parte do domínio. Substituindo esses valores na equação acima vamos achar os valores de A e B e C.

A = 1 ; B = 2 ; C = - 2

Agora substituindo os valores de A e B, temos:

(x^2 + 4 x - 1)/(x ( x - 1 ) ( x + 1 )) = (1)/(x) + (2)/(( x - 1 )) - (2)/((x + 1))

Passo 3

Já resolvemos as frações parciais, agora só falta resolver a integral.

int (x^2 + 4 x - 1)/(x ( x - 1 ) ( x + 1 )) d x = (int (1)/(x) d x + int (2)/((x - 1)) d x - int (2)/((x + 1)) d x)

Ficou fácil agora, basta resolver as integrais, que são bem simples.

int (x^2 + 4 x - 1)/(x ( x - 1 ) ( x + 1 )) d x = ln |x| + 2 ln |x - 1| - 2 l n | x + 1 |

Resposta

int (x^2 + 4 x - 1)/(x^3 - x) d x = ln |x| + 2 ln |x - 1| - 2 l n | x + 1 | + c

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Escreva as formas de decomposição em frações parciais da função (como no exemplo 7). Não determine os valores numéricos dos coeficientes. ∫ x 4 - 2 x 3 + x 2 + 2 x - 1 x 2 + 2 x + 1d x ∫ x 2 - 1x 3 +
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