dx/dt = k(6-x)(3-x)

∫ d x 6 - x 3 - x = ∫ k d t

Passo 1

Temos as seguintes informações, quando t=0, temos que x=0, e quando t=4min, x=1g.

∫ d x 6 - x 3 - x = ∫ k d t

Passo 2

Agora vamos para frações parciais, temos que:

1 6 - x 3 - x = A 6 - x + B 3 - x

Isolando   1 , vamos achar

1 = A 3 - x + B 6 - x

Resolvendo o sistema de equações acima, temos:

A = 1 3 ;                     B = - 1 3 ;

Agora substituindo os valores de A e B temos:

1 6 - x 3 - x = 1 3 x - 6 + - 1 3 x - 3

Passo 3

Já resolvemos as frações parciais, agora só falta resolver a integral.

∫ 1 6 - x 3 - x d x = ∫ 1 3 x - 6 d x + ∫ - 1 3 x - 3 d x    

Ficou fácil agora, basta resolver as integrais, que são bem simples.

∫ 1 3 x - 6 d x + ∫ - 1 3 x - 3 d x = ∫ k d t

Logo:

l n x - 6 3 - l n x - 3 3 + l n c 3 = k t

Simplificando:

ln ⁡ x - 6 C x - 3 = 3 k t

3 k t = x - 6 C x - 3

Quando x=0, C=1/2.

Para t=4 e x=1:

k = ln ⁡ 5 4 / 12

Resposta

Pronto, tendo o valor de k e C, para x=2, temos:

t = 12,4   m i n

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