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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.5 - Ex. 42

(d x)/(d t) = k (6 - x) (3 - x)

int (d x)/((6 - x) (3 - x)) = int k d t

Passo 1

Temos as seguintes informações, quando t=0, temos que x=0, e quando t=4min, x=1g.

int (d x)/((6 - x) (3 - x)) = int k d t

Passo 2

Agora vamos para frações parciais, temos que:

(1)/((6 - x) (3 - x)) = (A)/((6 - x)) + (B)/((3 - x))

Isolando 1 , vamos achar

1 = A (3 - x) + B (6 - x)

Resolvendo o sistema de equações acima, temos:

A = (1)/(3) ; B = - (1)/(3) ;

Agora substituindo os valores de A e B temos:

(1)/((6 - x) (3 - x)) = ((1)/(3))/((x - 6)) + (- (1)/(3))/((x - 3))

Passo 3

Já resolvemos as frações parciais, agora só falta resolver a integral.

int (1)/((6 - x) (3 - x)) d x = int ((1)/(3))/((x - 6)) d x + int (- (1)/(3))/((x - 3)) d x

Ficou fácil agora, basta resolver as integrais, que são bem simples.

int ((1)/(3))/((x - 6)) d x + int (- (1)/(3))/((x - 3)) d x = int k d t

Logo:

(l n |x - 6|)/(3) - (l n |x - 3|)/(3) + (l n |c|)/(3) = k t

Simplificando:

ln |((x - 6) C)/(x - 3)| = 3 k t

3 k t = ((x - 6) C)/(x - 3)

Quando x=0, C=1/2.

Para t=4 e x=1:

k = ln |(5)/(4)| // 12

Resposta

Pronto, tendo o valor de k e C, para x=2, temos:

t = 12,4 m i n

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