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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.5 - Ex. 38

f (t) = (A)/(1 + B . e^(- A k t))

Passo 1

Para acharmos o ponto de inflexão, devemos encontrar o ponto aonde a segunda derivada da função se iguala a zero.

Começaremos fazendo uma substituição:

g (t) = 1 + B . e^(- A k t)

Temos também, então, fazendo as derivadas:

g^' (t) = - A k t B . e^(- A k t)

g^(' ') (t) = A^2 k^2 t^2 B . e^(- A k t)

Passo 2

Derivando a função f(t), em função de g(t), teremos:

f^' (t) = - (A)/(g (t)^2) g ' ( t )

Derivando a função novamente, utilizando a regra do quociente, temos:

f^(' ') (t) = - (A (g^(' ') (t) . g (t)^2 - g^' (t) . 2 . g (t) . g^' (t)))/(g (t)^4)

Simplificando, temos:

f^(' ') (t) = (A (2 . g ' (t)^2 - g^' ' (t) . g (t)))/(g (t)^3)

Passo 3

Agora precisamos igualar o numerador a zero para encontrar o valor de t.

Substituindo as derivadas de g(t), teremos:

A (2 (- A k t B . e^(- A k t))^2 - A^2 k^2 t^2 B . e^(- A k t) (1 + B . e^(- A k t))) = 0

Simplificando a equação, chegaremos à:

e^(A k t) = ( 2 - B )

Portanto, isolando t obtemos:

t = (ln (2 - B))/(A k)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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