f(t) = A / (1 + B \* e^(-Akt))

Passo 1

Para acharmos o ponto de inflexão, devemos encontrar o ponto aonde a segunda derivada da função se iguala a zero.

Começaremos fazendo uma substituição:

g t = 1 + B . e - A k t

Temos também, então, fazendo as derivadas:

g ' t =   - A k t B . e - A k t

g ' ' t = A 2 k 2 t 2 B . e - A k t

Passo 2

Derivando a função f(t), em função de g(t), teremos:

f ' t = - A g t 2 g ' ( t )

Derivando a função novamente, utilizando a regra do quociente, temos:

f ' ' t = - A g ' ' t . g t 2 - g ' t . 2 . g t . g ' t g t 4

Simplificando, temos:

f ' ' t = A 2 . g ' t 2 - g ' ' t . g t g t 3

Passo 3

Agora precisamos igualar o numerador a zero para encontrar o valor de t.

Substituindo as derivadas de g(t), teremos:

A 2 - A k t B . e - A k t 2 - A 2 k 2 t 2 B . e - A k t 1 + B . e - A k t = 0

Simplificando a equação, chegaremos à:

e A k t = ( 2 - B )

Portanto, isolando t obtemos:

t = ln ⁡ 2 - B A k

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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