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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.5 - Ex. 8

int (x^2 + x + 2)/(x^2 - 1) d x

Passo 1

Primeiro vamos dividir o numerador pelo denominador para achar uma função com o denominador com o grau maior que o do numerador.

int 1 + (x + 3)/(x^2 - 1) d x

Logo

int 1 d x + int (x + 3)/(x^2 - 1) d x

Vemos que as raízes do denominador são 1 e -1 , logo podemos reescrever a equação de forma mais fácil para resolver o problema.

int (x + 3)/(( x - 1 ) ( x + 1 )) d x

Para x diferente de 1 e -1.

Passo 2

Agora vamos para frações parciais, temos que:

(x + 3)/(( x - 1 ) ( x + 1 )) = (A)/(( x - 1 )) + (B)/(( x + 1 ))

Isolando x + 3 , vamos achar

x + 3 = A (x + 2) + B ( x - 2 )

Vemos que agora os valores 1 e -1 fazem parte do domínio. Substituindo esses valores na equação acima vamos achar os valores de A e B.

A = - 1 ; B = 2

Agora substituindo os valores de A e B, temos:

(x + 3)/(( x - 1 ) ( x + 1 )) = - (1)/(( x - 1 )) + (2)/(( x + 1 ))

Passo 3

Já resolvemos as frações parciais, agora só falta resolver a integral.

int (x + 3)/(( x - 1 ) ( x + 1 )) d x = (int (1)/(( x - 1 )) d x - int (2)/(( x + 1 )) d x)

Ficou fácil agora, basta resolver as integrais, que são bem simples.

int (x + 3)/(( x - 1 ) ( x + 1 )) d x = - ln |x + 1| + 2 l n | x - 1 |

Resposta

int 1 d x + int (x + 3)/(x^2 - 1) d x = x - ln |x + 1| + 2 ln |x - 1| + c

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