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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.5 - Ex. 9

int (1)/(x^3 + 3 x^2) d x

Passo 1

Primeiro vemos que as raízes do denominador são 0 e -3, logo podemos reescrever a equação de forma mais fácil para resolver o problema.

int (1)/(x^2 ( x + 3 )) d x

Para x diferente de 0 e -3.

Passo 2

Agora vamos para frações parciais, temos que:

(1)/(x^2 ( x + 3 )) = (A)/(x^2) + (B)/(x) + (C)/(x^2)

Isolando 1 , vamos achar

1 = A ( x + 3 ) + B x ( x + 3 ) + C x^2

Vemos que agora os valores 0 e -3 fazem parte do domínio. Substituindo esses valores na equação acima vamos achar os valores de A e B e C.

A = (1)/(3) ; B = - (1)/(9) ; C = (1)/(9)

Agora substituindo os valores de A e B, temos:

(1)/(x^2 ( x + 3 )) = ((1)/(3))/(x^2) - ((1)/(9))/(x) + ((1)/(9))/(x^2)

Passo 3

Já resolvemos as frações parciais, agora só falta resolver a integral.

int (1)/(x^2 ( x + 3 )) d x = (int ((1)/(3))/(x^2) d x - int ((1)/(9))/(x) d x + int ((1)/(9))/(x^2) d x)

Ficou fácil agora, basta resolver as integrais, que são bem simples.

int (1)/(x^2 ( x + 3 )) d x = - (1)/(3 x) - (l n | x |)/(9) + (l n | x + 3 |)/(9)

Resposta

int (1)/(x^3 + 3 x^2) d x = - (1)/(3 x) - (l n | x |)/(9) + (l n | x + 3 |)/(9) + c

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