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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.5 - Ex. 7

int (6 x^2 - 2 x - 1)/(4 x^3 - x) d x

Passo 1

Primeiro vemos que as raízes do denominador são 0, (1)/(2) e - (1)/(2) , logo podemos reescrever a equação de forma mais fácil para resolver o problema.

int (6 x^2 - 2 x - 1)/(x ( x - (1)/(2) ) ( x + (1)/(2) )) d x

Para x diferente de 0, (1)/(2) e - (1)/(2) .

Passo 2

Agora vamos para frações parciais, temos que:

(6 x^2 - 2 x - 1)/(x ( x - (1)/(2) ) ( x + (1)/(2) )) = (A)/(x) + (B)/(( x - (1)/(2) )) + (C)/(( x + (1)/(2) ))

Isolando 6 x^2 - 2 x - 1 , vamos achar

6 x^2 - 2 x - 1 = A (x - (1)/(2)) (x + (1)/(2)) + B x (x + (1)/(2)) + C x ( x - (1)/(2) )

Vemos que agora os valores 0, (1)/(2) e - (1)/(2) fazem parte do domínio. Substituindo esses valores na equação acima vamos achar os valores de A e B e C.

A = 4 ; B = - 1 ; C = 3

Agora substituindo os valores de A e B, temos:

(6 x^2 - 2 x - 1)/(x ( x - (1)/(2) ) ( x + (1)/(2) )) = (4)/(x) - (1)/(( x - (1)/(2) )) + (3)/(( x + (1)/(2) ))

Passo 3

Já resolvemos as frações parciais, agora só falta resolver a integral.

int (6 x^2 - 2 x - 1)/(x ( x - (1)/(2) ) ( x + (1)/(2) )) d x = (int (4)/(x) d x - int (1)/((x - (1)/(2))) d x + int (3)/(( x + (1)/(2) )) d x)

Ficou fácil agora, basta resolver as integrais, que são bem simples.

int (6 x^2 - 2 x - 1)/(x ( x - (1)/(2) ) ( x + (1)/(2) )) d x = ln |x| + (l n | x - (1)/(2) |)/(4) - (l n | x + (1)/(2) |)/(4)

Resposta

int (6 x^2 - 2 x - 1)/(4 x^3 - x) d x = ln |x| + (l n | x - (1)/(2) |)/(4) - (l n | x + (1)/(2) |)/(4) + c

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