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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.5 - Ex. 5

int (( 4 w - 11 ) d w)/(2 w^2 + 7 w - 4)

Passo 1

Primeiro temos que ver as raízes do denominador

w = (- 7 +- sqrt(7^2 - 4 (2) (- 4)))/(2 * 2) = (- 7 +- sqrt(49 + 32))/(4) = (- 7 +- sqrt(49 + 32))/(4) = (- 7 +- sqrt(81))/(4)

w = (- 7 +- 9)/(4)

w = - 4

Ou

w = (1)/(2)

Assim podemos rescrever o denominador como

2 w^2 + 7 w - 4 = 2 (w - (1)/(2)) (w + 4)

Então a nossa integral fica

int (( 4 w - 11 ) d w)/(2 ( w + 4 ) ( w - (1)/(2) )) = int ((2 w - (11)/(2)) d w)/(( w + 4 ) ( w - (1)/(2) ))

Para x diferente de - 4 e (1)/(2) .

Passo 2

Agora vamos para frações parciais, temos que:

(( 2 w - 11 // 2 ) d w)/(( w + 4 ) ( w - (1)/(2) )) = (A)/(( w + 4 )) + (B)/(( w - (1)/(2) ))

Isolando 2 w - 11 // 2 , vamos achar

2 w - 11 // 2 = A ( w - (1)/(2) ) + B ( w + 4 )

Vemos que agora os valores - 4 e (1)/(2) fazem parte do domínio. Substituindo esses valores na equação acima vamos achar os valores de A e B.

Para w = 1 // 2

2 ((1)/(2)) - (11)/(2) = A ((1)/(2) - (1)/(2)) + B ((1)/(2) + 4)

- (9)/(2) = B (9)/(2) -> B = - 1

E para w = - 4

2 (- 4) - (11)/(2) = A (- 4 - (1)/(2)) + B (- 4 + 4)

- (27)/(2) = A (- (9)/(2)) -> A = 3

Agora substituindo os valores de A e B, temos:

(( 2 w - 11 // 2 ) d w)/(( w + 4 ) ( w - (1)/(2) )) = (3)/(( w + 4 )) - (1)/((w - (1)/(2)))

Passo 3

Já resolvemos as frações parciais, agora só falta resolver a integral.

int (( 2 w - 11 // 2 ) d w)/(( w + 4 ) ( w - (1)/(2) )) = (int (3)/(( w + 4 )) d w - int (1)/((w - (1)/(2))) d w)

Ficou fácil agora, basta resolver as integrais, que são bem simples.

int (( 2 w - 11 // 2 ) d w)/(( w + 4 ) ( w - (1)/(2) )) = (3 l n |w + 4| - l n |w - (1)/(2)|)

Resposta

int (( 4 w - 11 ) d w)/(2 w^2 + 7 w - 4) = 3 l n |w + 4| - l n |w - (1)/(2)| + c

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