∫ ( 4 w - 11 ) d w 2 w 2 + 7 w - 4

Passo 1

Primeiro temos que ver as raízes do denominador

w = - 7 ± 7 2 - 4 2 - 4 2 ⋅ 2 = - 7 ± 49 + 32 4 = - 7 ± 49 + 32 4 = - 7 ± 81 4

w = - 7 ± 9 4

w = - 4

Ou

w = 1 2

Assim podemos rescrever o denominador como

2 w 2 + 7 w - 4 = 2 w - 1 2 w + 4

Então a nossa integral fica

∫ ( 4 w - 11 ) d w 2 ( w + 4 ) ( w - 1 2 ) = ∫ 2 w - 11 2 d w ( w + 4 ) ( w - 1 2 )

Para x diferente de - 4 e 1 2 .

Passo 2

Agora vamos para frações parciais, temos que:

( 2 w - 11 / 2 ) d w ( w + 4 ) ( w - 1 2 ) = A ( w + 4 ) + B ( w - 1 2 )

Isolando 2 w - 11 / 2 , vamos achar

2 w - 11 / 2 = A ( w - 1 2 ) + B ( w + 4 )

Vemos que agora os valores - 4 e 1 2 fazem parte do domínio. Substituindo esses valores na equação acima vamos achar os valores de A e B.

Para w = 1 / 2

2 1 2 - 11 2 = A 1 2 - 1 2 + B 1 2 + 4

- 9 2 = B 9 2 → B = - 1

E para w = - 4

2 - 4 - 11 2 = A - 4 - 1 2 + B - 4 + 4

- 27 2 = A - 9 2 → A = 3

Agora substituindo os valores de A e B, temos:

( 2 w - 11 / 2 ) d w ( w + 4 ) ( w - 1 2 ) = 3 ( w + 4 ) - 1 w - 1 2

Passo 3

Já resolvemos as frações parciais, agora só falta resolver a integral.

∫ ( 2 w - 11 / 2 ) d w ( w + 4 ) ( w - 1 2 ) = ∫ 3 ( w + 4 ) d w - ∫ 1 w - 1 2 d w

Ficou fácil agora, basta resolver as integrais, que são bem simples.

∫ ( 2 w - 11 / 2 ) d w ( w + 4 ) ( w - 1 2 ) = 3 l n w + 4 - l n w - 1 2

Resposta

∫ ( 4 w - 11 ) d w 2 w 2 + 7 w - 4 = 3 l n w + 4 - l n w - 1 2 + c

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