Calcule a integral indefinida.

∫ x 2 + 5 x + 4 x 2 - 2 x + 1 d x

Passo 1

Aqui vamos fazer a divisão dos polinômios:

Temos então que:

x 2 + 5 x + 4 = x 2 - 2 x + 1 + 7 x + 3 → x 2 + 5 x + 4 x 2 - 2 x + 1 = x 2 - 2 x + 1 x 2 - 2 x + 1 + 7 x + 3 x 2 - 2 x + 1 →

→ x 2 + 5 x + 4 x 2 - 2 x + 1 = 1 + 7 x + 3 x - 1 2

Agora vamos substituir na integral:

∫ x 2 + 5 x + 4 x 2 - 2 x + 1 d x = ∫ 1 + 7 x + 3 x - 1 2 d x = ∫ 1 d x + ∫ 7 x + 3 x - 1 2 d x

Pronto, agora vamos calcular as duas integrais separadamente.

Passo 2

Com a primeira vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ k   d x = k x + C

Aplicando:

∫ 1 d x = x + C

Passo 3

Vamos usar Frações Parciais para calcular a segunda, analisando o denominador vemos que ele é um produto de fatores lineares que se repetem, vamos então usar a seguinte fórmula:

7 x + 3 x - 1 2 = A x - 1 + B x - 1 2  

Vamos achar os valores de A e B , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores x - 1 2 :

7 x + 3 = A x - 1 + B

Vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:

7 x + 3 = A x - 1 + B

7 x + 3 = A x - A + B

7 x + 3 = x A + - A + B

Passo 4

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes x 3 , x 2 e x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

A = 7 - A + B = 3 → A = 7 B = 3 + A → A = 7 B = 3 + 7 = 10

Pronto, achamos os valores de A e B , vamos agora substituir de volta na integral:

∫ 7 x + 3 x - 1 2 d x = ∫ 7 x - 1 + 10 x - 1 2 d x = 7 ∫ 1 x - 1 d x + 10 ∫ 1 x - 1 2 d x

Agora vamos resolver as duas integrais separadamente.

Passo 5

Com a primeira, vamos usar a Regra da Substituição:

u = x - 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 - 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

7 ∫ 1 x - 1 d x = 7 ∫ 1 u d u

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Aplicando:

7 ∫ 1 u d u = 7 ln ⁡ u + C

Passo 6

Vamos usar a Regra da Substituição novamente agora na segunda:

v = x - 1

Vamos agora achar diferencial de v , derivando:

d v = 1 - 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

10 ∫ 1 x - 1 2 d x = 10 ∫ 1 v 2 d v

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Aplicando:

10 ∫ 1 v 2 d v = 10 ∫ v - 2 d v = 10 ⋅ v - 2 + 1 - 2 + 1 + C = 10 ⋅ v - 1 - 1 + C = - 1 0 v + C

Passo 7

Agora é só juntar tudo:

∫ x 2 + 5 x + 4 x 2 - 2 x + 1 d x = ∫ 1 d x + ∫ 7 x + 3 x - 1 2 d x = x + 7 ln ⁡ u - 10 v + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ x 2 + 5 x + 4 x 2 - 2 x + 1 d x = x + 7 ln ⁡ u - 10 v + C = x + 7 ln ⁡ x - 1 - 10 x - 1 + C

Resposta

∫ x 2 + 5 x + 4 x 2 - 2 x + 1 d x = x + 7 ln ⁡ x - 1 - 10 x - 1 + C

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