Calcule a integral indefinida.

∫ d x x 3 - 4 x 2

Passo 1

Para calcular essa integral, primeiro vamos manipular um pouco:

∫ d x x 3 - 4 x 2 d x = ∫ 1 x 2 x - 4 d x

Vamos usar Frações Parciais, analisando o denominador vemos que ele é um produto de fatores lineares que se repetem, vamos então usar a seguinte fórmula:

1 x 2 x - 4 = A x + B x 2 + C x - 4  

Vamos achar os valores de A , B e C , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores x 2 x - 4 :

1 = A x x - 4 + B x - 4 + C x 2

Vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:

1 = A x x - 4 + B x - 4 + C x 2

1 = A x 2 - 4 x + B x - 4 + C x 2

1 = x 2 A + C + x - 4 A + B + - 4 B

Passo 2

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes x 2 e x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

A + C = 0 - 4 A + B = 0 - 4 B = 1 → C = - A A = B 4 B = - 1 4 → C = - A = 1 16 A = 1 4 - 1 4 = - 1 16 B = - 1 4

Pronto, achamos os valores de A , B e C , vamos agora substituir de volta na integral:

∫ d x x 3 - 4 x 2 d x = ∫ - 1 16 x + - 1 4 x 2 + 1 16 x - 4 d x =

= - 1 16 ∫ 1 x d x - 1 4 ∫ 1 x 2 d x + 1 16 ∫ 1 x - 4 d x

Agora vamos resolver as três integrais separadamente.

Passo 3

Com a primeira vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Aplicando:

- 1 16 ∫ 1 x d x = - 1 16 ln ⁡ x + C

Passo 4

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Aplicando:

- 1 4 ∫ 1 x 2 d x = - 1 4 ∫ x - 2 d x = - 1 4 ⋅ x - 2 + 1 - 2 + 1 + C = - 1 4 ⋅ x - 1 - 1 + C = 1 4 x + C

Passo 5

Vamos usar a Regra da Substituição por último na terceira:

r = x - 4

Vamos agora achar diferencial de r , derivando:

d r = 1 - 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

1 16 ∫ 1 x - 4 d x = 1 16 ∫ 1 r d r

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Aplicando:

1 16 ∫ 1 r d r = 1 16 ln ⁡ r + C

Passo 6

Agora é só juntar tudo:

- 1 16 ∫ 1 x d x - 1 4 ∫ 1 x 2 d x + 1 16 ∫ 1 x - 4 d x = - 1 16 ln ⁡ x + 1 4 x + 1 16 ln ⁡ r + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ d x x 3 - 4 x 2 d x = - 1 16 ln ⁡ x + 1 4 x + 1 16 ln ⁡ r + C = - 1 16 ln ⁡ x + 1 4 x + 1 16 ln ⁡ x - 4 + C

Resposta

∫ d x x 3 - 4 x 2 d x = - 1 16 ln ⁡ x + 1 4 x + 1 16 ln ⁡ x - 4 + C

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