Calcule a integral indefinida.

∫ x - 1 x - 2 2 x - 3 2 d x

Passo 1

Vamos usar Frações Parciais, analisando o denominador vemos que ele é um produto de fatores lineares que se repetem, vamos então usar a seguinte fórmula:

x - 1 x - 2 2 x - 3 2 = A x - 2 + B x - 2 2 + C x - 3 + D x - 3 2  

Vamos achar os valores de A , B , C e D , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores x - 2 2 x - 3 2 :

x - 1 = A x - 2 x - 3 2 + B x - 3 2 + C x - 2 2 x - 3 + D x - 2 2

Vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:

x - 1 = A x - 2 x - 3 2 + B x - 3 2 + C x - 2 2 x - 3 + D x - 2 2

x - 1 = A x - 2 x 2 - 6 x + 9 + B x 2 - 6 x + 9 + C x 2 - 4 x + 4 x - 3 + D x 2 - 4 x + 4

x - 1 = A x 3 - 6 x 2 + 9 x - 2 x 2 + 12 x - 18 + B x 2 - 6 x + 9 + C x 3 - 4 x 2 + 4 x - 3 x 2 + 12 x - 12 + D x 2 - 4 x + 4

x - 1 = A x 3 - 8 x 2 + 21 x - 18 + B x 2 - 6 x + 9 + C x 3 - 7 x 2 + 1 6 x - 12 + D x 2 - 4 x + 4

x - 1 = x 3 A + C + x 2 - 8 A + B - 7 C + D + x 21 A - 6 B + 16 C - 4 D + - 18 A + 9 B - 12 C + 4 D

Passo 2

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes x 3 , x 2 e x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

A + C = 0 - 8 A + B - 7 C + D = 0 21 A - 6 B + 16 C - 4 D = 1 - 18 A + 9 B - 12 C + 4 D = - 1

Vamos isolar o C na primeira e substituir nas outras:

C = - A

C = - A - 8 A + B + 7 A + D = 0 21 A - 6 B - 16 A - 4 D = 1 - 18 A + 9 B + 12 A + 4 D = - 1 → C = - A - A + B + D = 0 5 A - 6 B - 4 D = 1 - 6 A + 9 B + 4 D = - 1

Agora isolando B da segunda:

C = - A B = - D + A 5 A - 6 - D + A - 4 D = 1 - 6 A + 9 - D + A + 4 D = - 1 → C = - A B = - D + A 5 A + 6 D - 6 A - 4 D = 1 - 6 A - 9 D + 9 A + 4 D = - 1 → C = - A B = - D + A - A + 2 D = 1 3 A - 5 D = - 1

Multiplicando a terceira por 3 e somando com a quarta:

D = 2

Substituindo os valores de D achamos:

A = 2 D - 1 = 2 ⋅ 2 - 1 = 4 - 1 = 3

B = - D + A = - 2 + 3 = 1

C = - A = - 3

Pronto, achamos os valores de A , B e C , vamos agora substituir de volta na integral:

∫ x - 1 x - 2 2 x - 3 2 d x = ∫ 3 x - 2 + 1 x - 2 2 + - 3 x - 3 + 2 x - 3 2 d x =

= 3 ∫ 1 x - 2 d x + ∫ 1 x - 2 2 d x - 3 ∫ 1 x - 3 d x + 2 ∫ 1 x - 3 2 d x

Agora vamos resolver as quarto integrais separadamente.

Passo 3

Com a primeira, vamos usar a Regra da Substituição:

u = x - 2

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 - 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

3 ∫ 1 x - 2 d x = 3 ∫ 1 u d u

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Aplicando:

3 ∫ 1 u d u = 3 ln ⁡ u + C

Passo 4

Vamos usar a Regra da Substituição novamente agora na segunda:

v = x - 2

Vamos agora achar diferencial de v , derivando:

d v = 1 - 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ 1 x - 2 2 d x = ∫ 1 v 2 d v

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Aplicando:

∫ 1 v 2 d v = ∫ v - 2 d v = v - 2 + 1 - 2 + 1 + C = v - 1 - 1 + C = - 1 v + C

Passo 5

Vamos usar a Regra da Substituição na terceira:

r = x - 3

Vamos agora achar diferencial de r , derivando:

d r = 1 - 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

- 3 ∫ 1 x - 3 d x = - 3 ∫ 1 r d r

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Aplicando:

- 3 ∫ 1 r d r = - 3 ln ⁡ r + C

Passo 6

Vamos usar a Regra da Substituição novamente agora na última:

s = x - 2

Vamos agora achar diferencial de s , derivando:

d s = 1 - 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

2 ∫ 1 x - 3 2 d x = 2 ∫ 1 s 2 d s

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Aplicando:

2 ∫ 1 s 2 d s = 2 ∫ s - 2 d s = 2 s - 2 + 1 - 2 + 1 + C = 2 s - 1 - 1 + C = - 2 s + C

Passo 7

Agora é só juntar tudo:

3 ∫ 1 x - 2 d x + ∫ 1 x - 2 2 d x - 3 ∫ 1 x - 3 d x + 2 ∫ 1 x - 3 2 d x =

= 3 ln ⁡ u - 1 v - 3 ln ⁡ r - 2 s + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ x - 1 x - 2 2 x - 3 2 d x = 3 ln ⁡ u - 1 v - 3 ln ⁡ r - 2 s + C =

= 3 ln ⁡ x - 2 - 1 x - 2 - 3 ln ⁡ x - 3 - 2 x - 3 + C

Resposta

∫ x - 1 x - 2 2 x - 3 2 d x = 3 ln ⁡ x - 2 - 1 x - 2 - 3 ln ⁡ x - 3 - 2 x - 3 + C

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