Enunciado

Encontre a solução do problema de valor inicial em que:

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos a solução da nossa equação. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser relembrar que temos o seguinte:

u ' ' + u = F o t

u ' ' + u = F o 2 π - t

u ' ' + u = 0

u c ' ' + u c = 0

u c = e r t

u c ' = r e r t

u c ' ' = r ² e r t

r 2 + 1 = 0

r = ± i

u p ' ' + u p = F o t

u p ' ' + u p = F o 2 π - t

u p ' ' + u p = 0

A 1 + A 2 t = F o t

B 1 + B 2 t = 2 π F o - F o t

A 1 = 0

A 2 = F 0

B 1 = 2 π F o

B 2 = - F o

Passo 3

Pronto!! Agora é só substituir os valores e achar a solução!!

u 0 = D 1 = 0

u ' 0 = D 2 + F o = 0     ∴       D 2 =   - F 0

u t = F o ( t - sin ⁡ t ) F o ( 2 π - t - 3 sin ⁡ t ) -   4 F o sin ⁡ t

Resposta

u t = F o ( t - sin ⁡ t ) F o ( 2 π - t - 3 sin ⁡ t ) -   4 F o sin ⁡ t

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