Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 5.1 - Ex. 22
Uma massa de é suspensa por uma mola de constante característica . Inicialmente, a mssa aprte de um ponto acima da posição de equilíbrio com uma velocidade de para cima. Calcule os instantes nos quais a massa está se dirigindo para baixo com velocidade de .
Passo 1
Então galera, assim como vimos na seção em questão a equação diferencial que decreve um movimento harmônico simples ou um movimento livre sem amortecimento, é a seguinte:
O que precisamos fazer aqui é escrever uma equação diferencial com os dados cedidos pelo enunciado. A questão nos diz que e , certo? Então substituindo isso, teremos:
Resolvendo essa equação, teremos:
O que nos dá:
Como as raízes são complexas, então nossa solução será do tipo:
No qual é a constante que acompanha . Sendo assim, temos que nossa solução geral será:
Show!
Passo 2
O que precisamos fazer agora é encontrar as constantes e , galera! Para isso precisamos de condições iniciais, certo? De acordo com o enunciado tiramos que:
Aplicando a primeira condição, teremos:
Agora aplicando a segunda condição, teremos:
Logo a equação do movimento será:
Ou escrevendo em outro formato:
Passo 3
A questão quer que calculemos os instantes nos quais a massa está se dirigindo para baixo com velocidade de . Sendo assim, teremos:
Como a velocidade é de , então:
O que nos dá dois resultados:
Ou:
E esses são nossos instantes, galera! 😉
Resposta
ou