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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 5.1 - Ex. 22

Uma massa de 1 k g é suspensa por uma mola de constante característica 9 N m . Inicialmente, a mssa aprte de um ponto 1 m acima da posição de equilíbrio com uma velocidade de 3 m s para cima. Calcule os instantes nos quais a massa está se dirigindo para baixo com velocidade de 3 m s .

Passo 1

Então galera, assim como vimos na seção em questão a equação diferencial que decreve um movimento harmônico simples ou um movimento livre sem amortecimento, é a seguinte:

m d 2 x d t 2 + k x = 0

O que precisamos fazer aqui é escrever uma equação diferencial com os dados cedidos pelo enunciado. A questão nos diz que m = 1 k g e k = 9 N m , certo? Então substituindo isso, teremos:

x ' ' + 9 x = 0

Resolvendo essa equação, teremos:

x 2 + 9 = 0

O que nos dá:

x 1 = 3 i

x 2 = - 3 i

Como as raízes são complexas, então nossa solução será do tipo:

x = c 1 cos ⁡ b t + c 2 s e n   b t

No qual b é a constante que acompanha i . Sendo assim, temos que nossa solução geral será:

x t = c 1 cos ⁡ 3 t + c 2 s e n   3 t

Show!

Passo 2

O que precisamos fazer agora é encontrar as constantes c 1 e c 2 , galera! Para isso precisamos de condições iniciais, certo? De acordo com o enunciado tiramos que:

x 0 = - 1

x ' 0 = - 3

Aplicando a primeira condição, teremos:

- 1 = c 1 cos ⁡ 0 + c 2 s e n   0

c 1 = - 1

Agora aplicando a segunda condição, teremos:

x ' t = - 3 c 1 s e n   3 t + 3 c 2 cos ⁡ 3 t

- 3 = - 3 c 1 s e n   0 + 3 c 2 cos ⁡ 0

c 2 = - 3 3

Logo a equação do movimento será:

x t = - cos ⁡ 3 t - 3 3 s e n   3 t

Ou escrevendo em outro formato:

x t = 2 3 s e n 3 t + 4 π 3

Passo 3

A questão quer que calculemos os instantes nos quais a massa está se dirigindo para baixo com velocidade de 3 m s . Sendo assim, teremos:

x ' t = 2 3 . cos ⁡ 3 t + 4 π 3 . 3 = 6 3 cos ⁡ 3 t + 4 π 3

Como a velocidade é de 3 m s , então:

3 = 6 3 cos ⁡ 3 t + 4 π 3

O que nos dá dois resultados:

t = - 7 π 18 + 2 n π 3

Ou:

t = - π 2 + 2 n π 3

E esses são nossos instantes, galera! 😉

Resposta

t = - 7 π 18 + 2 n π 3 ou t = - π 2 + 2 n π 3

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