Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 5.1 - Ex. 23
Sob certas circunstâncias, quando duas molas paralelas, com constantes e , suportam um único peso , a constante de elasticidade efetiva do sistema é dada por . Um peso de distende uma mola em e uma outra mola em . As molas estão presas a um suporte rígido comum e uma chapa metálica é atada às duas molas simultaneamente. Como mostrado na figura 5.7, um peso de é atado ao centro da chapa. Determine a constande de elasticidade efetiva do sistema. Encontre a equação de movimento se o peso for solto a partir da posição de equilíbrio com uma velocidade inicial de para baixo.
Passo 1
Então galera, assim como vimos na seção em questão a equação diferencial que decreve um movimento harmônico simples ou um movimento livre sem amortecimento, é a seguinte:
O que precisamos fazer aqui é escrever uma equação diferencial com os dados cedidos pelo enunciado. A questão nos fornece o seguinte:
Aplicando na equação que determina efetivo do sistema, teremos:
Como , então nossa equação será:
Show!
Passo 2
Resolvendo essa equação, teremos:
O que nos dá:
Como as raízes são complexas, então nossa solução será do tipo:
No qual é a constante que acompanha . Sendo assim, temos que nossa solução geral será:
Top, top!
Passo 3
O que precisamos fazer agora é encontrar as constantes e , galera! Para isso precisamos de condições iniciais, certo? De acordo com o enunciado tiramos que:
Aplicando a primeira condição, teremos:
Agora aplicando a segunda condição, teremos:
Logo a equação do movimento será:
E está aí nossa resolução!