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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 5.1 - Ex. 18

Um peso de 2 k g distende uma mola em 2 c m . Determine a amplitude e o período de movimento se o peso for solto 1   c m acima da posição de equilíbrio com uma velocidade inicial de 2 c m s para cima. Quantas vibrações completas o peso terá completado no final de 4 π segundos?

Passo 1

Então galera, assim como vimos na seção em questão a equação diferencial que decreve um movimento harmônico simples ou um movimento livre sem amortecimento, é a seguinte:

m d 2 x d t 2 + k x = 0

O que precisamos fazer aqui é escrever uma equação diferencial com os dados cedidos pelo enunciado. A questão nos diz que m = 2 k g e k = 32 N m , logo:

2 x ' ' + 32 x = 0

x ' ' + 16 = 0

Então vamos resolver esse trem aí!

Passo 2

Resolvendo essa equação, teremos:

x 2 + 16 = 0

O que nos dá:

x 1 = 4 i

x 2 = - 4 i

Como as raízes são complexas, então nossa solução será do tipo:

x = c 1 cos ⁡ b t + c 2 s e n   b t

No qual b é a constante que acompanha i . Sendo assim, temos que nossa solução geral será:

x t = c 1 cos ⁡ 4 t + c 2 s e n   4 t

Agora temos que encontrar essas constantes aí, certo? De acordo com o enunciado temos que:

x 0 = - 1

x ' 0 = - 2

Então vamos aplicar essas condições!

Passo 3

Aplicando a primeira condição:

- 1 = c 1 cos ⁡ 0 + c 2 s e n   0

c 1 = - 1

Aplicando a segunda condição:

x ' t = - 4 c 1 s e n   4 t + 4 c 2 cos ⁡ 4 t

- 2 = 4 c 2

c 2 = - 1 2

Logo a equação do movimento será:

x t = - cos ⁡ 4 t - 1 2 s e n   4 t

O período é de π 2   s , logo, para 4 π segundos o número de vibrações completas será:

8   v i b r a ç õ e s

E esta é nossa resposta!

Resposta

x t = - cos ⁡ 4 t - 1 2 s e n   4 t

8   v i b r a ç õ e s

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