Se x_0 e v₀ são a posição inicial e a velocidade inicial, respectivamente, de um peso em movimento harmônico simples, mostre que a amplitude das vibrações é:

A = raiz(x₀² + (v₀/ω)²)

Passo 1

Então pessoal, considerando que nossa equação diferencial é a seguinte:

x ' ' + ω x = 0

Tiramos o seguinte:

x 2 + ω = 0

x 1 = ω i

x 2 = - ω i

O que nos diz que nossa solução terá o seguinte formato:

x t = c 1 cos ⁡ ω t + c 2 s e n   ω t

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Passo 2

O enunciado nos diz o seguinte:

x 0 = x 0

v 0 = v 0

Então o que precisamos fazer aqui é aplicar essas condições iniciais para ver o que encontramos, saca só:

x 0 = c 1 cos ⁡ 0 + c 2 s e n   0

c 1 = x 0

Agora aplicando a segunda condição:

v t = - ω c 1 . s e n   ω t + ω c 2 . cos ⁡ ω t

v 0 = - ω c 1 . s e n   0 + ω c 2 . cos ⁡ 0

c 2 = v 0 ω

Substituindo na nossa solução, teremos:

x t = x 0 . cos ⁡ ω t + v 0 ω . s e n   ω t

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Passo 3

Na seção em questão discutimos que a amplitude do movimento é dada por:

A = c 1 2 + c 2 2

Substituindo nossos valores, teremos:

A = x 0 2 + v 0 2 ω 2

Que é justamente a relação que queríamos encontrar! 😉

Resposta

Demonstração.

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